Determine o sup e o inf das seguintes sequências:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o supremo e o ínfimo da sequência
definida por
O que precisamos é lembrar que o supremo é o menor majorante e o ínfimo é o maior minorante da sequência.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral e perceber o papel de
:
Como
vale
quando
é par e
quando
é ímpar, convém estudar duas subsequências: uma para
par e outra para
ímpar.
Passo 3
Para
(subsequência par), temos
Essa sequência em
é decrescente (pois
decresce) e tende a
quando
. O maior valor ocorre em
, ou seja,
e o menor valor limite é
, mas jamais cai abaixo de
.
Passo 4
Para
(subsequência ímpar), temos
Aqui
decresce quando
cresce, logo
também decresce, partindo de
e aproximando-se de
quando
. Ou seja, o maior valor dessa subsequência é
(em
) e o menor limite é
, sem nunca atingi-lo.
Passo 5
Agora combinamos os resultados das duas subsequências:
- Os maiores termos aparecem em
(subsequência par), então
- Os menores termos se aproximam de
pela subsequência ímpar, sem nunca ficar abaixo, então