Determine o sup e o inf das seguintes sequências:
(-1)^n+2 / n

Passo 1

O enunciado pede para determinar o supremo e o ínfimo da sequência
ann=1^infty definida por
an = (-1)^n + 2n
O que precisamos é lembrar que o supremo é o menor majorante e o ínfimo é o maior minorante da sequência.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral e perceber o papel de (-1)^n:
an = (-1)^n + 2n
Como (-1)^n vale 1 quando n é par e -1 quando n é ímpar, convém estudar duas subsequências: uma para n par e outra para n ímpar.

Passo 3

Para n=2m (subsequência par), temos
a2m = 1 + 22m = 1 + 1m
Essa sequência em m é decrescente (pois tfrac1m decresce) e tende a 1 quando mtoinfty. O maior valor ocorre em m=1, ou seja,
maxm a2m = a2 = 1 + 1 = 2,
e o menor valor limite é 1, mas jamais cai abaixo de 1.

Passo 4

Para n=2m+1 (subsequência ímpar), temos
a2m+1 = -1 + 22m+1
Aqui tfrac22m+1 decresce quando m cresce, logo a2m+1 também decresce, partindo de
a1 = -1 + 2 = 1
e aproximando-se de -1 quando mtoinfty. Ou seja, o maior valor dessa subsequência é 1 (em n=1) e o menor limite é -1, sem nunca atingi-lo.

Passo 5

Agora combinamos os resultados das duas subsequências:
  • Os maiores termos aparecem em a2=2 (subsequência par), então
    supn an = 2
  • Os menores termos se aproximam de -1 pela subsequência ímpar, sem nunca ficar abaixo, então
    infn an = -1

Resposta

sup an = 2, inf an = -1

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