Simplifique as expressões abaixo:
\frac{x^{4}-16}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\displaystyle \frac{x^{4}-16}{x-2}.
Informações dadas:
  • Numerador: \displaystyle x^{4}-16.
  • Denominador: \displaystyle x-2.
    Tarefa: transformar a expressão numa forma mais simples (fatorada e/ou polinomial), indicando, se necessário, restrições no domínio.

Passo 2

Vamos identificar uma estratégia: fatorar o numerador. Um truque útil aqui é reconhecer uma diferença de quadrados. Lembre-se da fórmula:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui podemos ver \displaystyle x^{4}-16 como (x^{2})^{2}-4^{2}. Aplicando a fórmula com a=x^{2} e b=4, obtemos:
x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4).

Passo 3

O fator \displaystyle x^{2}-4 ainda é uma diferença de quadrados, pois \displaystyle x^{2}-4=(x)^{2}-(2)^{2}. Aplicando novamente a mesma fórmula com a=x e b=2, temos:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo no passo anterior:
x^{4}-16=(x-2)(x+2)(x^{2}+4).
Aqui listei explicitamente cada fator encontrado.

Passo 4

Agora volte à fração original:
\frac{x^{4}-16}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{x-2}.
Como (x-2) aparece no numerador e no denominador, podemos cancelar esse fator — mas atenção: esse cancelamento é válido apenas quando x\neq2 (pois em x=2 a expressão original tem divisão por zero). Após o cancelamento obtemos a forma simplificada:
(x+2)(x^{2}+4),\qquad x\neq2.

Passo 5

Se quiser uma forma expandida (polinomial) para usar na prova sem fatores, multiplicamos:
Primeiro multiplica x+2 por x^{2}+4:
(x+2)(x^{2}+4)=x\cdot(x^{2}+4)+2\cdot(x^{2}+4).
Calcule cada termo:
x\cdot(x^{2}+4)=x^{3}+4x, \qquad 2\cdot(x^{2}+4)=2x^{2}+8.
Somando:
x^{3}+4x+2x^{2}+8 = x^{3}+2x^{2}+4x+8.
Portanto a forma expandida também é correta e igualmente válida para x\neq2.

Resposta

(x+2)(x^{2}+4),\; x\neq2
x^{3}+2x^{2}+4x+8,\; x\neq2

Exercícios relacionados