Considere as funções:
f(x)=x^2,
Construir os gráficos das funções, y=f(x), g(x)=f(x+k), h(x)=f(k cdot x), p(x)=f(x)+k e q(x)=k f(x), considerando k=-2,-1,-1 / 2,0,1 / 2,1,2. É indicado utilizar software.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função base f(x)=x² e queremos desenhar, para cada k∈{−2,−1,−1/2,0,1/2,1,2}, as famílias g(x)=f(x+k), h(x)=f(k·x), p(x)=f(x)+k e q(x)=k·f(x). O conteúdo aqui é transformações de gráficos (translações, distorções e reflexões) e vamos usar essas ideias para esboçar todos.

Passo 2

Entendendo g(x)=f(x+k): essa operação gera uma translação horizontal do gráfico de f(x). Como f(x)=x², temos
gk(x)=(x+k)^2
Se k>0, o gráfico desloca k unidades para a esquerda; se k<0, desloca |k| unidades para a direita; em k=0, fica igual a f(x). Para cada valor de k no conjunto, basta desenhar y=x² e mover horizontalmente conforme k.

Passo 3

Entendendo h(x)=f(k·x): isso é uma distorção horizontal. Como
hk(x)= (k·x)^2 = k^2 x^2,
a forma é sempre uma parábola, mas: se |k|>1, ocorre uma contração horizontal (parábola fica mais ‘estreita’); se 0<|k|<1, uma dilatação horizontal (fica mais ‘larga’). O sinal de k não muda nada porque quadrado elimina o sinal.

Passo 4

Entendendo p(x)=f(x)+k: aqui temos uma translação vertical. Como
pk(x)= x^2 + k,
se k>0, sobe k unidades; se k<0, desce |k| unidades; em k=0, coincide com f(x). É só pegar y=x² e deslocar para cima ou para baixo.

Passo 5

Entendendo q(x)=k·f(x): é uma distorção vertical com possível reflexão. Como
qk(x)= k·x^2,
se |k|>1, estica verticalmente (parábola mais ‘fina’); se 0<|k|<1, comprime verticalmente (mais ‘larga’); se k<0, além da distorção, temos reflexão em relação ao eixo x.

Passo 6

Como desenhar na prática: num software (GeoGebra, Desmos, Python), crie a função y=x² e depois defina, para cada k na lista, as funções g_k(x), h_k(x), p_k(x) e q_k(x). Plote todas num mesmo eixo para comparar cores ou estilos de linha. Vá marcando o vértice e alguns pontos-chave (±1,±2) para ver o efeito das transformações.

Passo 7

Ao final, teremos 4 grupos de 7 parábolas cada: um deslocado horizontalmente (g), um distorcido horizontalmente (h), um deslocado verticalmente § e um distorcido/refletido verticalmente (q). Comparando-as com a parábola original y=x², fica fácil visualizar cada tipo de transformação.

Resposta

Os gráficos são obtidos aplicando a cada k os seguintes passos: 1) g_k(x)=(x+k)² desloca horizontalmente; 2) h_k(x)=(k·x)² distorce horizontalmente (estica ou comprime); 3) p_k(x)=x²+k desloca verticalmente; 4) q_k(x)=k·x² distorce verticalmente e, se k<0, reflete no eixo x. Para k∈{−2,−1,−½,0,½,1,2} basta ajustar o valor de k em cada fórmula e traçar as parábolas no mesmo sistema de eixos para comparar.

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