Considere as funções
f(x)=\frac{x-2}{x+1}, \quad g(x)=\sqrt{5-2 x}, \quad h(x)=\ln (x-1)
Encontre as composições f \circ g e g \circ f e seus domínios.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\frac{x-2}{x+1},\quad g(x)=\sqrt{5-2x},\quad h(x)=\ln(x-1)
e pede as composições f\circ g e g\circ f com seus domínios.
Para compor duas funções u\circ v precisamos que
  1. v(x) esteja definido;
  2. v(x) caiba no domínio de u.

Passo 2

Vamos achar (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Substituindo x\mapsto g(x) em f vem
(f\circ g)(x) =\frac{g(x)-2}{g(x)+1} =\frac{\sqrt{5-2x}-2}{\sqrt{5-2x}+1}.
Para o domínio temos que:
  • g(x) exige 5-2x\ge0, ou seja x\le\frac52.
  • Em f o denominador não pode zerar: g(x)+1\neq0. Mas \sqrt{5-2x}\ge0 implica \sqrt{5-2x}+1\ge1>0, logo não há nova restrição.
    Assim
\Dom(f\circ g)=\bigl(-\infty,\tfrac52\bigr].

Passo 3

Agora (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).
Substituindo x\mapsto f(x) em g obtemos
(g\circ f)(x) =\sqrt{\,5-2\,\frac{x-2}{x+1}\,}.
Para o domínio precisamos de:
  1. f(x) definido, ou seja x\neq-1.
  2. O radicando não negativo:
5-2\frac{x-2}{x+1}\ge0.
Vamos simplificar o radicando:

Passo 4

5-2\frac{x-2}{x+1} =\frac{5(x+1)-2(x-2)}{x+1} =\frac{5x+5-2x+4}{x+1} =\frac{3x+9}{x+1}.
Logo a condição é
\frac{3x+9}{x+1}\ge0, \quad x\neq-1.
Os zeros do numerador e denominador são x=-3 e x=-1. Pelo estudo de sinais em cada intervalo:
  • Para x<-3: numerador<0 e denominador< 0\Rightarrow quociente>0.
  • Em x=-3: quociente =0\Rightarrow vale.
  • Para -3<x<-1: numerador>0 e denominador< 0\Rightarrow quociente<0 (não vale).
  • Para x>-1: numerador>0 e denominador> 0\Rightarrow quociente>0.
    Assim
\Dom(g\circ f)=(-\infty,-3]\;\cup\;(-1,\infty).

Resposta

(f\circ g)(x) =\frac{\sqrt{5-2x}-2}{\sqrt{5-2x}+1}, \quad \Dom(f\circ g)=\bigl(-\infty,\tfrac52\bigr].
(g\circ f)(x) =\sqrt{5-2\,\frac{x-2}{x+1}} =\sqrt{\frac{3x+9}{x+1}}, \quad \Dom(g\circ f)=(-\infty,-3]\;\cup\;(-1,\infty).

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