Considere as funções
f(x)=\frac{x-2}{x+1}, \quad g(x)=\sqrt{5-2 x}, \quad h(x)=\ln (x-1)
Determine a função inversa f^{-1}(x), indicando seu domínio e imagem.

Passo 1

O enunciado pede a inversa da função
f(x)=\frac{x-2}{x+1}
ou seja, encontrar f^{-1}. O conteúdo usado é a definição de função inversa: se y=f(x), resolvemos para x em termos de y. Depois, identificamos o domínio de f e a imagem (que viram imagem e domínio de f^{-1}, respectivamente).

Passo 2

Começamos escrevendo
y = \frac{x-2}{x+1}.
Multiplicamos ambos os lados por (x+1):
y(x+1) = x - 2.
Expandindo a esquerda e agrupando termos em x:
yx + y = x - 2 \quad\Longrightarrow\quad yx - x = -2 - y \quad\Longrightarrow\quad x\,(y - 1) = -(y + 2).

Passo 3

Desde que y\neq1, podemos dividir por (y-1):
x = \frac{-(y+2)}{y-1} = \frac{y+2}{1-y}.
Isso nos dá a expressão de f^{-1}. Trocando o papel de y por x, obtemos
f^{-1}(x) = \frac{x+2}{1-x}.

Passo 4

Agora determinamos domínio e imagem.
  1. O domínio de f é \mathbb{R}\setminus\{-1\} (pois x=-1 anula o denominador).
  2. A imagem de f é \mathbb{R}\setminus\{1\}, porque \frac{x-2}{x+1}=1 não ocorre para nenhum x.
    Pelas propriedades de inversão:
  • Domínio de f^{-1} = imagem de f = \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  • Imagem de f^{-1} = domínio de f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{1-x},
domínio \mathbb{R}\setminus\{1\},
imagem \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

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