Considere as funções
f(x)=\frac{x-2}{x+1}, \quad g(x)=\sqrt{5-2 x}, \quad h(x)=\ln (x-1)
Resolva a equação h(f(x))=0.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\frac{x-2}{x+1},\quad g(x)=\sqrt{5-2x},\quad h(x)=\ln(x-1)
e pede para resolver
h\bigl(f(x)\bigr)=0.
O conteúdo envolve composição de funções e propriedades de logaritmo natural. Para resolver, vamos expressar h(f(x)), usar que \ln(A)=0 implica A=1 e ainda verificar o domínio de existência do logaritmo.

Passo 2

Escrevemos a composição:
h\bigl(f(x)\bigr)=\ln\bigl(f(x)-1\bigr).
Logo a equação fica
\ln\bigl(f(x)-1\bigr)=0.

Passo 3

Aplicando a propriedade do logaritmo natural, temos
f(x)-1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad f(x)=2.

Passo 4

Substituindo f(x)=\frac{x-2}{x+1} na equação \frac{x-2}{x+1}=2, obtemos
x-2 = 2(x+1) \quad\Longrightarrow\quad x-2 = 2x+2 \quad\Longrightarrow\quad -x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -4.

Passo 5

Verificamos o domínio de h(f(x)):
  1. Não pode ter x=-1 (denominador de f).
  2. É preciso f(x)-1>0 para o argumento do \ln. Isso equivale a
\frac{x-2}{x+1}-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{-3}{x+1}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x+1<0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<-1.
Como -4<-1 e -4\neq -1, a solução x=-4 é válida.

Resposta

\,x=-4

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