Resolva as EDOs abaixo. (valor: 6,0 )
\sqrt{y} \frac{d y}{d x}+y \sqrt{y}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial\r
\sqrt{y}\,\frac{dy}{dx}+y\sqrt{y}=1.\r
Isso é uma EDO de primeira ordem e variável separável: podemos agrupar termos em y de um lado e em x do outro para integrar.

Passo 2

Primeiro isolamos \frac{dy}{dx}. Subtraindo y\sqrt{y} de ambos os lados e dividindo por \sqrt{y}, obtemos\r
\frac{dy}{dx}=\frac{1-y^{3/2}}{y^{1/2}}.

Passo 3

Agora separamos variáveis. Escrevemos\r
\frac{dy}{dx}=\frac{1-y^{3/2}}{y^{1/2}}\quad\Longrightarrow\quad\r \frac{y^{1/2}}{1-y^{3/2}}\,dy=dx.\r
Em seguida integramos ambos os lados:\r
\int\frac{y^{1/2}}{1-y^{3/2}}\,dy=\int dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle\int\frac{y^{1/2}}{1-y^{3/2}}\,dy, fazemos a substituição\r
u=y^{3/2},\qquad du=\frac{3}{2}\,y^{1/2}\,dy \quad\Longrightarrow\quad y^{1/2}\,dy=\frac{2}{3}\,du.\r
Isso leva a\r
\int\frac{y^{1/2}}{1-y^{3/2}}\,dy =\frac{2}{3}\int\frac{du}{1-u} =-\frac{2}{3}\int\frac{du}{u-1} =-\frac{2}{3}\ln\bigl|u-1\bigr|+C_1.

Passo 5

Voltando à variável y (isto é, u=y^{3/2}), temos\r
-\frac{2}{3}\ln\bigl|y^{3/2}-1\bigr|=x+C_1.\r
Multiplicando por -\tfrac{3}{2} e exponenciando,\r
\ln\bigl|y^{3/2}-1\bigr|=-\tfrac{3}{2}x+C_2 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|y^{3/2}-1\bigr|=C\,e^{-3x/2}.

Passo 6

Eliminando o valor absoluto e renomeando a constante geral, obtemos a solução implícita\r
y^{3/2}-1=Ce^{-3x/2} \quad\Longrightarrow\quad y^{3/2}=1+Ce^{-3x/2}.\r
Finalmente, isolamos y:\r
y(x)=\bigl(1+Ce^{-3x/2}\bigr)^{2/3},\r
onde C é constante de integração.

Resposta

y(x)=\bigl(1+Ce^{-3x/2}\bigr)^{2/3}.

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