Resolva as EDOs abaixo. (valor: 6,0 )
(1+x) \frac{d y}{d x}-x y=x+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(1+x)\,\frac{dy}{dx}-x\,y = x + x^{2}.
Este é um caso clássico de EDO de primeira ordem e linear em y. Para resolver, vamos primeiro colocar no formato padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
em que precisaremos de um fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Dividindo toda a equação por 1+x (supondo x\neq -1), obtemos
\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}\,y = \frac{x + x^{2}}{1+x} = x.
Logo
P(x) = -\frac{x}{1+x}, \quad Q(x) = x.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\frac{x}{1+x}\,dx\Bigr).
Para calcular
\int \frac{x}{1+x}\,dx
fazemos a divisão x/(1+x)=1 - 1/(1+x), logo
\int \frac{x}{1+x}\,dx = \int \Bigl(1 - \frac{1}{1+x}\Bigr)\,dx = x - \ln\lvert1+x\rvert.
Portanto
\int -\frac{x}{1+x}\,dx = -\,x + \ln\lvert1+x\rvert
e
\mu(x) = e^{-x + \ln(1+x)} = (1+x)\,e^{-x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x), obtendo
(1+x)e^{-x}\,\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}\,(1+x)e^{-x}\,y = x\,(1+x)e^{-x}.
O lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl[y\,(1+x)e^{-x}\bigr],
portanto
\frac{d}{dx}\bigl[y\,(1+x)e^{-x}\bigr] = x\,(1+x)e^{-x}.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
y\,(1+x)e^{-x} = \int x(1+x)e^{-x}\,dx + C.
Para calcular
\int x(1+x)e^{-x}\,dx = \int (x^{2}+x)e^{-x}\,dx,
fazemos integração por partes. O resultado é
\int (x^{2}+x)e^{-x}\,dx = -\bigl(x^{2}+3x+3\bigr)e^{-x} + \widetilde C.
Desprezando a constante particular (que será absorvida em C), temos
y\,(1+x)e^{-x} = -\bigl(x^{2}+3x+3\bigr)e^{-x} + C.

Passo 6

Multiplicando por e^{x} e isolando y, obtemos
y\,(1+x) = -\bigl(x^{2}+3x+3\bigr) + C\,e^{x},
logo a solução geral fica
y(x) = \frac{C\,e^{x} - \bigl(x^{2}+3x+3\bigr)}{1+x},
com C constante arbitrária.

Resposta

y(x) = \frac{C\,e^{x} - \bigl(x^{2}+3x+3\bigr)}{1+x},
para x\neq -1 e constante C\in\mathbb{R}.

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