Considere as funções f(x) e g(x) dadas a seguir. Encontre (i) f+g, (ii) f-g, (iii) f g, (iv) f / g e defina seus domínios.
f(x)=raizx+2 e g(x)=xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, $ f(x) = \sqrt{x + 2} $ e $ g(x) = \frac{x}{x^2 - 4} $. A missão aqui é calcular $ f + g $, $ f - g $, $ f \cdot g $, e $ \frac{f}{g} $, além de definir os domínios dessas novas funções. Para isso, vamos precisar lembrar como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções, além de entender como determinar o domínio de cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa somar duas funções. Quando a gente tem $ f + g $, isso significa que, para cada valor de $ x $, a gente soma o valor de $ f(x) $ com o valor de $ g(x) $. Ou seja:
f + g
Aplicando isso às nossas funções:
x
Agora, pra definir o domínio de $ f + g $, a gente precisa que o domínio de $ f $ e o de $ g $ se sobreponham. Vamos lá:
  • Para $ f(x) = \sqrt{x + 2} $, o que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero:
f(x)
  • Para $ g(x) = \frac{x}{x^2 - 4} $, o denominador não pode ser zero:
g(x)
Então, o domínio de $ f + g $ é todo $ x $ que é maior ou igual a -2, mas diferente de 2 e -2.

Passo 3

Agora, vamos para $ f - g $. A lógica é a mesma da soma, só que aqui a gente subtrai $ g(x) $ de $ f(x) $:
f - g
O domínio vai ser igual ao de $ f + g $, porque as condições para $ f(x) $ e $ g(x) $ não mudam:
g(x)

Passo 4

Vamos multiplicar as funções para encontrar $ f \cdot g $. Multiplicar funções significa multiplicar os resultados das funções para cada $ x $:
f cdot g
Simplificando um pouco:
x
Quanto ao domínio, continua o mesmo de antes:
(f cdot g)(x) = f(x) times g(x) = raizx + 2 times xx^2 - 4

Passo 5

Por fim, vamos dividir as funções para achar $ \frac{f}{g} $. Dividir funções significa multiplicar $ f(x) $ pelo inverso de $ g(x) $:
fg
Simplificando:
f(x)
O domínio aqui é um pouco mais restrito, porque além das condições anteriores, $ g(x) $ não pode ser zero, ou seja, $ x \neq 0 $. Então:
g(x)

Resposta

As funções resultantes são:
(f + g)(x) &= raizx + 2 + xx^2 - 4 com domínio x >= -2, , x neq pm 2 (f - g)(x) &= raizx + 2 - xx^2 - 4 com domínio x >= -2, , x neq pm 2 (f cdot g)(x) &= x raizx + 2x^2 - 4 com domínio x >= -2, , x neq pm 2 (fg)(x) &= raizx + 2(x^2 - 4)x com domínio x >= -2, , x neq -2, , 0, , 2 íííí

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