Considere as funções
e
dadas a seguir. Encontre (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
e defina seus domínios.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções, $ f(x) = \sqrt{x + 2} $ e $ g(x) = \frac{x}{x^2 - 4} $. A missão aqui é calcular $ f + g $, $ f - g $, $ f \cdot g $, e $ \frac{f}{g} $, além de definir os domínios dessas novas funções. Para isso, vamos precisar lembrar como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções, além de entender como determinar o domínio de cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa somar duas funções. Quando a gente tem $ f + g $, isso significa que, para cada valor de $ x $, a gente soma o valor de $ f(x) $ com o valor de $ g(x) $. Ou seja:
Aplicando isso às nossas funções:
Agora, pra definir o domínio de $ f + g $, a gente precisa que o domínio de $ f $ e o de $ g $ se sobreponham. Vamos lá:
- Para $ f(x) = \sqrt{x + 2} $, o que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero:
- Para $ g(x) = \frac{x}{x^2 - 4} $, o denominador não pode ser zero:
Então, o domínio de $ f + g $ é todo $ x $ que é maior ou igual a -2, mas diferente de 2 e -2.
Passo 3
Agora, vamos para $ f - g $. A lógica é a mesma da soma, só que aqui a gente subtrai $ g(x) $ de $ f(x) $:
O domínio vai ser igual ao de $ f + g $, porque as condições para $ f(x) $ e $ g(x) $ não mudam:
Passo 4
Vamos multiplicar as funções para encontrar $ f \cdot g $. Multiplicar funções significa multiplicar os resultados das funções para cada $ x $:
Simplificando um pouco:
Quanto ao domínio, continua o mesmo de antes:
Passo 5
Por fim, vamos dividir as funções para achar $ \frac{f}{g} $. Dividir funções significa multiplicar $ f(x) $ pelo inverso de $ g(x) $:
Simplificando:
O domínio aqui é um pouco mais restrito, porque além das condições anteriores, $ g(x) $ não pode ser zero, ou seja, $ x \neq 0 $. Então:
Resposta
As funções resultantes são: