Considere as funções f(x)=3^{x} e g(x)=x^{3}, definidas para todo número real x. Resolva a equação f(g(x))=g(f(x)).

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções definidas em todos os reais:
  • f(x)=3^{x};
  • g(x)=x^{3}.
Pede-se resolver a equação
f(g(x))=g(f(x))
ou seja, encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro vamos calcular explicitamente as duas composições que aparecem na equação.
Definição rápida (didática): a composição f\circ g significa aplicar g primeiro e depois f ao resultado; em símbolos, (f\circ g)(x)=f(g(x)).
Agora calcular:
f(g(x)) = 3^{\,g(x)} = 3^{\,x^{3}}.
E
g(f(x)) = \big(f(x)\big)^{3} = \big(3^{x}\big)^{3}.
Usando a regra de potências \big(a^{b}\big)^{c}=a^{b c}, obtemos
\big(3^{x}\big)^{3}=3^{3x}.
Portanto a equação original fica
3^{x^{3}} = 3^{3x}.

Passo 3

Agora vamos transformar essa igualdade exponencial em uma igualdade mais simples.
Propriedade importante (didática): a função exponencial a^{t} com base a>0 e a\neq1 é injetora, isto é, se a^{u}=a^{v} então u=v. No nosso caso a base é a=3, que satisfaz 3>0 e 3\neq1, logo podemos igualar os expoentes.
Aplicando essa propriedade à igualdade \,3^{x^{3}}=3^{3x}\,, concluímos que
x^{3}=3x.
(Explicação extra: essa injetividade pode ser entendida porque a^{t} é estritamente crescente quando a>1; valores de t diferentes dão resultados diferentes.)

Passo 4

Agora resolvemos a equação polinomial resultante. Escrevemos:
x^{3}-3x=0.
Fatoramos um x em evidência:
x\bigl(x^{2}-3\bigr)=0.
Regra (didática): um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Assim, as possibilidades são:
x=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}-3=0.

Passo 5

Resolvendo a segunda equação:
x^{2}-3=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Breve verificação (didática e prática): substituir cada solução na igualdade dos expoentes x^{3}=3x.
  • Para x=0: 0^{3}=0 e 3\cdot 0=0 — ok.
  • Para x=\sqrt{3}: (\sqrt{3})^{3}=3\sqrt{3} e 3(\sqrt{3})=3\sqrt{3} — ok.
  • Para x=-\sqrt{3}: (-\,\sqrt{3})^{3}=-3\sqrt{3} e 3(-\sqrt{3})=-3\sqrt{3} — ok.
Tudo confere.

Resposta

-\sqrt{3}
0
\sqrt{3}

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