Considere as funções
e
, definidas para todo número real
. Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções definidas em todos os reais:
-
; -
.
Pede-se resolver a equação
ou seja, encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Primeiro vamos calcular explicitamente as duas composições que aparecem na equação.
Definição rápida (didática): a composição
significa aplicar
primeiro e depois
ao resultado; em símbolos,
.
Agora calcular:
E
Usando a regra de potências
, obtemos
Portanto a equação original fica
Passo 3
Agora vamos transformar essa igualdade exponencial em uma igualdade mais simples.
Propriedade importante (didática): a função exponencial
com base
e
é injetora, isto é, se
então
. No nosso caso a base é
, que satisfaz
e
, logo podemos igualar os expoentes.
Aplicando essa propriedade à igualdade
, concluímos que
(Explicação extra: essa injetividade pode ser entendida porque
é estritamente crescente quando
; valores de
diferentes dão resultados diferentes.)
Passo 4
Agora resolvemos a equação polinomial resultante. Escrevemos:
Fatoramos um
em evidência:
Regra (didática): um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Assim, as possibilidades são:
Passo 5
Resolvendo a segunda equação:
Breve verificação (didática e prática): substituir cada solução na igualdade dos expoentes
.
- Para
: e — ok. - Para
: e — ok. - Para
: e — ok.
Tudo confere.