Dadas as funções f(x)=2 x-1 e g(x)=x^{2}+3 x+c, determine o maior valor inteiro de c tal que a equação g(f(x))=0 apresenta raizes reias.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede o maior valor inteiro de c tal que a equação g(f(x))=0 tenha raízes reais. Informações fornecidas:
  • f(x)=2x-1.
  • g(x)=x^{2}+3x+c, onde c é um parâmetro real (vamos buscar o maior inteiro possível).
    A pergunta que vamos responder é: qual o maior inteiro c tal que a equação g(f(x))=0 admite pelo menos uma raiz real?

Passo 2

Plano e ideia central (explicação didática):
  • Primeiro calculamos a composição g(f(x)). Isso dá uma equação em x que será um polinômio (a priori quadrático).
  • Para uma equação quadrática ax^{2}+bx+c_{h}=0 (aqui uso c_{h} para não confundir com o parâmetro c), a condição para ter raízes reais é que o discriminante \Delta seja não negativo:
\Delta = b^{2}-4ac_{h}\ge 0.
Explicando: a, b, c_{h} são os coeficientes do polinômio em x. Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 as raízes são complexas (não real).
  • Portanto, depois de achar a forma quadrática de g(f(x)), vamos calcular o discriminante em função de c e impor \Delta\ge 0. Como procuramos o maior inteiro c, resolveremos a desigualdade e tomaremos o maior inteiro que satisfaça.

Passo 3

Calcular a composição passo a passo:
  • Primeiro, f(x)=2x-1.
  • Calcular f(x)^{2}:
f(x)^{2}=(2x-1)^{2}=4x^{2}-4x+1.
  • Agora escrever g(f(x)) substituindo x\mapsto f(x) em g:
g(f(x))=f(x)^{2}+3f(x)+c.
  • Substituir as expressões já calculadas:
g(f(x))=(4x^{2}-4x+1)+3(2x-1)+c.
  • Expandir e somar termos semelhantes:
g(f(x))=4x^{2}-4x+1+6x-3+c=4x^{2}+2x+(c-2).
Assim, a equação g(f(x))=0 é equivalente à quadrática
4x^{2}+2x+(c-2)=0.

Passo 4

Identificar os coeficientes da quadrática e escrever o discriminante:
  • Para a quadrática 4x^{2}+2x+(c-2)=0 definimos
a_{h}=4,\qquad b_{h}=2,\qquad c_{h}=c-2.
  • O discriminante é
\Delta = b_{h}^{2}-4a_{h}c_{h}.

Passo 5

Calcular \Delta em função de c e impor a condição de raízes reais:
\Delta = 2^{2}-4\cdot 4\cdot (c-2)=4-16(c-2).
Simplificando:
\Delta =4-16c+32=36-16c.
A condição para existirem raízes reais é \Delta\ge 0. Logo
36-16c\ge 0.
Resolver a desigualdade:
16c\le 36\quad\Rightarrow\quad c\le \frac{36}{16}=\frac{9}{4}=2{,}25.
Portanto qualquer c real que satisfaça c\le \tfrac{9}{4} produz raízes reais. Como queremos o maior valor inteiro de c, os candidatos inteiros são \ldots,0,1,2 (isto é, inteiros \le 2{,}25).

Passo 6

Verificação de borda (para garantir que o inteiro máximo funciona):
  • Testar c=2 (o maior inteiro candidato): o discriminante vale
\Delta(2)=36-16\cdot 2=36-32=4>0,
logo há duas raízes reais distintas. Usando a fórmula de Bhaskara para c=2:
x=\frac{-b_{h}\pm\sqrt{\Delta}}{2a_{h}}=\frac{-2\pm\sqrt{4}}{2\cdot 4}=\frac{-2\pm 2}{8}.
Assim as raízes são
x_{1}= \frac{-2+2}{8}=0,\qquad x_{2}=\frac{-2-2}{8}=-\frac{1}{4},
que são reais. Para c=3 (próximo inteiro acima), teríamos
\Delta(3)=36-16\cdot 3=36-48=-12<0,
logo não há raízes reais. Portanto o maior inteiro c que funciona é o maior inteiro \le 2{,}25, e esse inteiro é mostrado válido pela verificação acima.

Resposta

2

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