Dadas as funções
e
, determine o maior valor inteiro de
tal que a equação
apresenta raizes reias.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede o maior valor inteiro de
tal que a equação
tenha raízes reais. Informações fornecidas:
-
. -
, onde é um parâmetro real (vamos buscar o maior inteiro possível).
A pergunta que vamos responder é: qual o maior inteirotal que a equação admite pelo menos uma raiz real?
Passo 2
Plano e ideia central (explicação didática):
- Primeiro calculamos a composição
. Isso dá uma equação em que será um polinômio (a priori quadrático). - Para uma equação quadrática
(aqui uso para não confundir com o parâmetro ), a condição para ter raízes reais é que o discriminante seja não negativo:
Explicando:
,
,
são os coeficientes do polinômio em
. Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla; se
as raízes são complexas (não real).
- Portanto, depois de achar a forma quadrática de
, vamos calcular o discriminante em função de e impor . Como procuramos o maior inteiro , resolveremos a desigualdade e tomaremos o maior inteiro que satisfaça.
Passo 3
Calcular a composição passo a passo:
- Primeiro,
. - Calcular
:
- Agora escrever
substituindo em :
- Substituir as expressões já calculadas:
- Expandir e somar termos semelhantes:
Assim, a equação
é equivalente à quadrática
Passo 4
Identificar os coeficientes da quadrática e escrever o discriminante:
- Para a quadrática
definimos
- O discriminante é
Passo 5
Calcular
em função de
e impor a condição de raízes reais:
Simplificando:
A condição para existirem raízes reais é
. Logo
Resolver a desigualdade:
Portanto qualquer
real que satisfaça
produz raízes reais. Como queremos o maior valor inteiro de
, os candidatos inteiros são
(isto é, inteiros
).
Passo 6
Verificação de borda (para garantir que o inteiro máximo funciona):
- Testar
(o maior inteiro candidato): o discriminante vale
logo há duas raízes reais distintas. Usando a fórmula de Bhaskara para
:
Assim as raízes são
que são reais. Para
(próximo inteiro acima), teríamos
logo não há raízes reais. Portanto o maior inteiro
que funciona é o maior inteiro
, e esse inteiro é mostrado válido pela verificação acima.
Resposta
2