Sabe-se que a função
é invertível. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que ela é invertível. A pergunta é: determinar
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função dada é
. - A função é invertível (ou seja, existe
). - Pede-se o valor de
no ponto .
Passo 2
O que significa “invertível” de forma prática (mini-aula):
- Uma função
é invertível quando cada valor de saída tem exatamente um valor de entrada correspondente. - Para construir a inversa de uma função explícita
, a técnica prática e padrão é: escrever , trocar e (porque a inversa troca papéis de entrada e saída) e então resolver essa nova equação para . O resultado será . - Para funções lineares do tipo
com , a inversa existe e tem forma . Aqui já dá para ver que basta isolar na expressão original.
Passo 3
Aplicando a técnica: primeiro escrevo a função com
:
.
Passo 4
Agora troco
e
:
.
Explicação do porquê: na inversa a entrada original vira saída e vice-versa; trocar os símbolos facilita resolver para a nova saída.
Explicação do porquê: na inversa a entrada original
Passo 5
Isolando
passo a passo (álgebra bem mastigada):
- Multiplico os dois lados por
para eliminar o denominador:
- Subtraio
dos dois lados para isolar :
Passo 6
Concluo a fórmula da função inversa:
Passo 7
Agora calculo
substituindo
na fórmula da inversa:
Pequena verificação (útil na prova): aplicar
em
deve voltar
:
logo está consistente.