Sabe-se que a função f(x)=\frac{x+3}{5} é invertível. Determine f^{-1}(3).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\frac{x+3}{5} e informa que ela é invertível. A pergunta é: determinar f^{-1}(3).
Informações relevantes:
  • A função dada é f(x)=\frac{x+3}{5}.
  • A função é invertível (ou seja, existe f^{-1}).
  • Pede-se o valor de f^{-1} no ponto 3.

Passo 2

O que significa “invertível” de forma prática (mini-aula):
  • Uma função f é invertível quando cada valor de saída tem exatamente um valor de entrada correspondente.
  • Para construir a inversa de uma função explícita f, a técnica prática e padrão é: escrever y=f(x), trocar x e y (porque a inversa troca papéis de entrada e saída) e então resolver essa nova equação para y. O resultado será y=f^{-1}(x).
  • Para funções lineares do tipo f(x)=ax+b com a\neq0, a inversa existe e tem forma f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}. Aqui já dá para ver que basta isolar x na expressão original.

Passo 3

Aplicando a técnica: primeiro escrevo a função com y:
y=\frac{x+3}{5}.

Passo 4

Agora troco x e y:
x=\frac{y+3}{5}.
Explicação do porquê: na inversa a entrada original x vira saída e vice-versa; trocar os símbolos facilita resolver para a nova saída.

Passo 5

Isolando y passo a passo (álgebra bem mastigada):
  1. Multiplico os dois lados por 5 para eliminar o denominador:
5x = y + 3
  1. Subtraio 3 dos dois lados para isolar y:
y = 5x - 3

Passo 6

Concluo a fórmula da função inversa:
f^{-1}(x)=5x-3

Passo 7

Agora calculo f^{-1}(3) substituindo x=3 na fórmula da inversa:
f^{-1}(3)=5\cdot 3 - 3 = 15 - 3 = 12.
Pequena verificação (útil na prova): aplicar f em 12 deve voltar 3:
f(12)=\frac{12+3}{5}=\frac{15}{5}=3,
logo está consistente.

Resposta

12

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