A função f(x)=\frac{2 x+3}{4 x+1} com x \neq \frac{-1}{4} é invertível. Sua inversa f^{-1} pode ser expressa na forma f^{-1}(x)=\frac{a x+b}{c x+d}, onde a, b, c e d são números inteiros. Dessa forma determine a soma a+b+c+d.

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=\frac{2x+3}{4x+1},\qquad x\neq -\frac{1}{4},
e afirma que f é invertível. Pede-se que a inversa seja escrita na forma
f^{-1}(x)=\frac{ax+b}{cx+d},
onde a,b,c,d são inteiros, e que se determine a soma a+b+c+d.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função dada é \displaystyle f(x)=\frac{2x+3}{4x+1}.
  • A função não está definida em x=-\dfrac{1}{4} (porque o denominador fica zero).
  • Precisamos encontrar a expressão algébrica da inversa e identificar inteiros a,b,c,d.
  • No final devemos calcular a+b+c+d.

Passo 2

Como se encontra a inversa de uma função racional do tipo fracção linear? Método padrão (explicado passo a passo, sem pressa):
  • Primeiro, trocamos o papel de entrada e saída: escrevemos y=f(x) e resolvemos essa equação para x em função de y.
  • Depois substituímos y por x para escrever a inversa na notação habitual f^{-1}(x).
    Vou aplicar exatamente esse processo, explicando cada manipulação algébrica.

Passo 3

Começo escrevendo y=\dfrac{2x+3}{4x+1} e faço a multiplicação cruzada para eliminar denominador:
y(4x+1)=2x+3.
Agora distribuo y no lado esquerdo:
4xy + y = 2x + 3.
Agrupo os termos que contêm x de um lado e os demais do outro:
4xy - 2x = 3 - y.
Coloco x em evidência no lado esquerdo:
x(4y - 2) = 3 - y.
Desde que 4y-2\neq 0 (caso contrário não se pode isolar x), posso dividir ambos os lados por 4y-2 e obter:
x = \frac{3 - y}{4y - 2}.
Esta é a expressão de x em função de y; portanto é a inversa escrita em termos de y.

Passo 4

Agora escrevo a inversa trocando y por x (convenção usual para a variável de entrada da inversa):
f^{-1}(x)=\frac{3 - x}{4x - 2}.
Coloco em evidência os coeficientes para identificar a,b,c,d. O numerador 3-x é o mesmo que (-1)x + 3, e o denominador 4x-2 é 4x + (-2). Assim:
a = -1,\qquad b = 3,\qquad c = 4,\qquad d = -2.
Todos são inteiros, como exigido.

Passo 5

Calculo a soma pedida:
a+b+c+d = (-1) + 3 + 4 + (-2).
Faço as somas em etapas: (-1)+3=2, depois 2+4=6, depois 6-2=4. Logo
a+b+c+d=4.

Resposta

4

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