A função
com
é invertível. Sua inversa
pode ser expressa na forma
, onde
e
são números inteiros. Dessa forma determine a soma
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função racional
e afirma que
é invertível. Pede-se que a inversa seja escrita na forma
onde
são inteiros, e que se determine a soma
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função dada é
. - A função não está definida em
(porque o denominador fica zero). - Precisamos encontrar a expressão algébrica da inversa e identificar inteiros
. - No final devemos calcular
.
Passo 2
Como se encontra a inversa de uma função racional do tipo fracção linear? Método padrão (explicado passo a passo, sem pressa):
- Primeiro, trocamos o papel de entrada e saída: escrevemos
e resolvemos essa equação para em função de . - Depois substituímos
por para escrever a inversa na notação habitual .
Vou aplicar exatamente esse processo, explicando cada manipulação algébrica.
Passo 3
Começo escrevendo
e faço a multiplicação cruzada para eliminar denominador:
Agora distribuo
no lado esquerdo:
Agrupo os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Coloco
em evidência no lado esquerdo:
Desde que
(caso contrário não se pode isolar
), posso dividir ambos os lados por
e obter:
Esta é a expressão de
em função de
; portanto é a inversa escrita em termos de
.
Passo 4
Agora escrevo a inversa trocando
por
(convenção usual para a variável de entrada da inversa):
Coloco em evidência os coeficientes para identificar
. O numerador
é o mesmo que
, e o denominador
é
. Assim:
Todos são inteiros, como exigido.
Passo 5
Calculo a soma pedida:
Faço as somas em etapas:
, depois
, depois
. Logo
Resposta
4