Considere as funções:
f(x)=\ln x \sqrt[3]{x}, g(x)=x \cos \pi x \text { e } h(x)=\cos x \ln (\operatorname{sen} x) .
Analise as afirmativas seguintes.
I. \int \ln x \sqrt[3]{x} d x=x \ln \sqrt[3]{x}-\frac{1}{3} x+C
II. \int_{0}^{1 / 2} x \cos \pi x d x=\frac{\pi-2}{2 \pi^{2}}
III. \int \cos x \ln (\operatorname{sen} x) d x=\operatorname{sen} x(\ln \operatorname{sen} x-1)+C
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre integrais envolvendo as funções
f(x)=\ln x\sqrt[3]{x},\quad g(x)=x\cos(\pi x),\quad h(x)=\cos x\ln(\operatorname{sen} x)
e pede para decidir quais estão corretas. Vamos usar a técnica de integração por partes nas três situações para verificar cada afirmação.

Passo 2

Analisando a afirmação I:
\int \ln x\sqrt[3]{x}\,dx=\int x^{1/3}\ln x\,dx.
Fazendo integração por partes com \,u=\ln x, dv=x^{1/3}dx
du=\frac{1}{x}dx,\quad v=\frac{3}{4}x^{4/3},
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\int x^{1/3}\ln x\,dx =\frac{3}{4}x^{4/3}\ln x-\frac{3}{4}\int x^{1/3}dx =\frac{3}{4}x^{4/3}\ln x-\frac{9}{16}x^{4/3}+C,
o que envolve x^{4/3}, não apenas x. Portanto a fórmula
x\ln\sqrt[3]{x}-\frac{1}{3}x+C
está incorreta. A afirmação I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação II:
\int_{0}^{1/2}x\cos(\pi x)\,dx.
Usando partes com u=x, dv=\cos(\pi x)dx resulta em
v=\frac{1}{\pi}\operatorname{sen}(\pi x),\quad du=dx,
\int x\cos(\pi x)\,dx =\frac{x}{\pi}\operatorname{sen}(\pi x)-\int\frac{1}{\pi}\operatorname{sen}(\pi x)\,dx =\frac{x}{\pi}\operatorname{sen}(\pi x)+\frac{1}{\pi^2}\cos(\pi x)+C.
Avalia-se de 0 a 1/2:
\Bigl[\frac{x}{\pi}\operatorname{sen}(\pi x)+\frac{1}{\pi^2}\cos(\pi x)\Bigr]_0^{1/2} =\frac{1}{2\pi}-\frac{1}{\pi^2} =\frac{\pi-2}{2\pi^2}.
Logo a afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III:
\int \cos x\ln(\operatorname{sen} x)\,dx.
Fazendo partes com u=\ln(\operatorname{sen} x), dv=\cos x\,dx
du=\cot x\,dx,\quad v=\operatorname{sen} x,
\int \cos x\ln(\operatorname{sen} x)\,dx =\operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x)-\int\operatorname{sen} x\cot x\,dx =\operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x)-\int\cos x\,dx =\operatorname{sen} x\ln(\operatorname{sen} x)-\operatorname{sen} x+C
=\operatorname{sen} x\bigl(\ln(\operatorname{sen} x)-1\bigr)+C.
Isso coincide com a afirmação III, que é verdadeira.

Resposta

Estão corretas apenas as afirmativas II e III.

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