Dadas as funções:
f(x)=1+3 x, g(x)=x^{2}+x \text { e } h(x)=x^{3}-3 x^{2} .
Analise as afirmativas seguintes.
I. \int_{-1}^{5}(1+3 x) d x=42
II. \int_{-2}^{0}\left(x^{2}+x\right) d x=\frac{2}{3}
III. \int_{0}^{1}\left(x^{3}-3 x^{2}\right) d x=-\frac{3}{4}
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá três funções polinomiais
f(x)=1+3x,\quad g(x)=x^2+x,\quad h(x)=x^3-3x^2
e pede para confirmar se as seguintes integrais definidas estão corretas:
I. \displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx=42
II. \displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)\,dx=\tfrac{2}{3}
III. \displaystyle\int_{0}^{1}h(x)\,dx=-\tfrac{3}{4}
O conteúdo é cálculo de antiderivadas de polinômios e avaliação de integrais definidas via Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Vamos verificar I. A antiderivada de f(x)=1+3x é
F(x)=\int(1+3x)\,dx = x + \tfrac{3}{2}x^2.
Avalia em -1 e em 5:
F(5)=5 + \tfrac{3}{2}\cdot25 =5+37{,}5=42{,}5, \quad F(-1)=-1 + \tfrac{3}{2}\cdot1 = -1+1{,}5=0{,}5.
Logo
\int_{-1}^{5}(1+3x)\,dx = F(5)-F(-1)=42{,}5-0{,}5=42,
então I está correta.

Passo 3

Agora II. A antiderivada de g(x)=x^2+x é
G(x)=\int(x^2+x)\,dx = \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{1}{2}x^2.
Avalia em -2 e em 0:
G(0)=0, \quad G(-2)=\tfrac{1}{3}(-8)+\tfrac{1}{2}\cdot4 = -\tfrac{8}{3}+2 = -\tfrac{2}{3}.
Logo
\int_{-2}^{0}(x^2+x)\,dx = G(0)-G(-2)=0 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{2}{3},
portanto II está correta.

Passo 4

Por fim III. A antiderivada de h(x)=x^3-3x^2 é
H(x)=\int(x^3-3x^2)\,dx = \tfrac{1}{4}x^4 - x^3.
Avalia em 0 e em 1:
H(1)=\tfrac{1}{4}-1=-\tfrac{3}{4}, \quad H(0)=0.
Logo
\int_{0}^{1}(x^3 - 3x^2)\,dx = H(1)-H(0)=-\tfrac{3}{4}-0=-\tfrac{3}{4},
então III também está correta.

Resposta

I, II e III estão corretas.

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