Dadas as funções:
f(x)=\cos (3 x), g(x)=x^{2} \sqrt{x^{3}+1} \text { e } h(x)=x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) .
Analise as afirmativas seguintes.
I. \int \cos (3 x) d x=\frac{1}{3} \operatorname{sen} 3 x+C
II. \int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x=\frac{2}{9}\left(x^{3}+1\right)^{3 / 2}+C
III. \int x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x=-\frac{1}{2} \cos \left(x^{2}\right)+C
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado pede verificar se as antiderivadas
\displaystyle\int \cos(3x)\,dx,
\displaystyle\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx e
\displaystyle\int x\sin(x^{2})\,dx
estão corretas. Vamos usar técnicas de substituição simples e a regra da cadeia inversa para calcular cada integral.

Passo 2

Calcular \displaystyle\int \cos(3x)\,dx.
Faça u = 3x, logo du = 3\,dx e dx = \tfrac{du}{3}. Então
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) + C = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.

Passo 3

Calcular \displaystyle\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx.
Faça u = x^{3}+1, logo du = 3x^{2}\,dx e x^{2}\,dx = \tfrac{du}{3}. Então
\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx = \int u^{1/2}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{9}u^{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^{3}+1)^{3/2} + C.

Passo 4

Calcular \displaystyle\int x\sin(x^{2})\,dx.
Faça u = x^{2}, logo du = 2x\,dx e x\,dx = \tfrac{du}{2}. Então
\int x\sin(x^{2})\,dx = \int \sin(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{2}\cos(u) + C = -\frac{1}{2}\cos(x^{2}) + C.

Passo 5

As três antiderivadas conferem com as afirmativas I, II e III, ou seja, todas estão corretas.

Resposta

I, II e III.

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