Dadas as funções:
f(x)=\operatorname{sen}(\ln (x)), g(x)=\sqrt[5]{\ln (x)} e h(x)=\log _{10}\left(x^{3}+1\right).
Analise as afirmativas seguintes.
I. f^{\prime}(x)=\frac{\cos (\ln (x))}{x}
II. g^{\prime}(x)=\frac{1}{5 x \sqrt[5]{\ln x}}
III. h^{\prime}(x)=\frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)}
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado dá três funções
f(x)=\sin(\ln x), g(x)=\sqrt[5]{\ln x}=(\ln x)^{\tfrac15} e h(x)=\log_{10}(x^3+1)
e pede para verificar se as derivadas estão corretas nas afirmativas I, II e III.

Passo 2

Vamos calcular f'(x). Como
f(x)=\sin\bigl(\ln x\bigr),
usamos a cadeia: a derivada de \sin(u) é \cos(u)\,u' e a de u=\ln x é u'=1/x. Logo,
f'(x)=\cos\bigl(\ln x\bigr)\cdot\frac1x
que coincide com a afirmativa I.

Passo 3

Agora g(x)=(\ln x)^{\tfrac15}. Pela regra da potência e da cadeia:
g'(x)=\frac15(\ln x)^{\tfrac15-1}\cdot\frac1x =\frac1{5x}(\ln x)^{-\tfrac45} =\frac1{5\,x\,(\ln x)^{4/5}}.
A afirmativa II dizia \frac1{5\,x\,\sqrt[5]{\ln x}}=\frac1{5\,x\,(\ln x)^{1/5}}, que não bate com nosso resultado. Logo, II é falsa.

Passo 4

Para h(x)=\log_{10}(x^3+1) usamos \log_{10}u=\frac{\ln u}{\ln10}. Então
h'(x)=\frac1{\ln10}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x^3+1)\bigr] =\frac1{\ln10}\cdot\frac{3x^2}{x^3+1} =\frac{3x^2}{(x^3+1)\,\ln10}.
A afirmativa III deu \frac{3x^2}{x^3+1}, faltando o fator 1/\ln10. Portanto, III é falsa.

Passo 5

Concluímos que somente a afirmativa I está correta.

Resposta

Apenas I.

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