Dadas as funções:
f(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}, g(x)=\sqrt{1+2 e^{3 x}} \text { e } h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}
Analise as afirmativas seguintes.
I. f^{\prime}(x)=\frac{-12 x\left(x^{2}+1\right)^{2}}{\left(x^{2}-1\right)^{4}}
II. g^{\prime}(x)=\frac{3 e^{3 x}}{\sqrt{1+2 e^{3 x}}}
III. h^{\prime}(x)=\left(x^{2}+1\right)^{3}
É correto o que se afirma em:

Passo 1

O enunciado pede para testar quais das três fórmulas de derivada estão corretas para as funções
f(x)=\bigl(\tfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\bigr)^{3},
g(x)=\sqrt{1+2e^{3x}} e
h(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Vamos usar regras de derivação de quociente, potência, cadeia e produto para confirmar I, II e III.

Passo 2

Para f(x), defino
u(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}.
Pela regra do quociente,
u'(x) =\frac{(2x)(x^{2}-1)-(x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Como f(x)=[u(x)]^{3}, aplico a regra da cadeia:
f'(x)=3\,[u(x)]^{2}\,u'(x) =-12x\frac{(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}.
Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Para g(x)=\bigl(1+2e^{3x}\bigr)^{1/2}, uso cadeia:
g'(x)=\tfrac12\,(1+2e^{3x})^{-1/2}\cdot(2\cdot3e^{3x}) =\frac{3e^{3x}}{\sqrt{1+2e^{3x}}}.
Portanto, a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 4

Para h(x)=x\,(x^{2}+1)^{-1/2}, uso produto e cadeia:
h'(x)=1\cdot(x^{2}+1)^{-1/2} +x\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)(x^{2}+1)^{-3/2}\cdot2x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}-\frac{x^{2}}{(x^{2}+1)^{3/2}} =\frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2}}.
A afirmativa III diz que h'(x)=(x^{2}+1)^{3}, que é completamente diversa de \tfrac1{(x^{2}+1)^{3/2}}. Logo, III é falsa.

Resposta

Estão corretas apenas as afirmativas I e II.

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