Considere as funções f(x)=\sqrt{x+2} e g(x)=x^{2}-7 x+12. Determine as funções compostas (f \circ g)(x)=f(g(x)) e (g \circ f)(x)=g(f(x)), em seguida, calcule (f \circ g)(2) e (g \circ f)(7).

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=\sqrt{x+2}
e
g(x)=x^{2}-7x+12,
pede as funções compostas (f\circ g)(x) e (g\circ f)(x) e depois os valores (f\circ g)(2) e (g\circ f)(7). Vamos usar a definição de composição: (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) e (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr).

Passo 2

Para achar (f\circ g)(x) substituímos g(x) no argumento de f:
(f\circ g)(x) = f\bigl(g(x)\bigr) = \sqrt{\,g(x)+2\,} = \sqrt{x^{2}-7x+12 +2} = \sqrt{x^{2}-7x+14}.

Passo 3

Para achar (g\circ f)(x) substituímos f(x) no argumento de g:
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = \bigl(f(x)\bigr)^{2} -7\,f(x) +12 = \bigl(\sqrt{x+2}\bigr)^{2} -7\sqrt{x+2} +12.
Como \bigl(\sqrt{x+2}\bigr)^{2}=x+2,
(g\circ f)(x) = x+2 -7\sqrt{x+2} +12 = x +14 -7\sqrt{x+2}.

Passo 4

Agora calculamos (f\circ g)(2). Primeiro
g(2)=2^{2}-7\cdot2+12=4-14+12=2.
Então
(f\circ g)(2)=f\bigl(g(2)\bigr)=f(2)=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2.

Passo 5

Por fim, (g\circ f)(7). Primeiro
f(7)=\sqrt{7+2}=\sqrt{9}=3.
Depois
g\bigl(f(7)\bigr)=g(3)=3^{2}-7\cdot3+12=9-21+12=0.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}-7x+14},\quad (g\circ f)(x)=x+14-7\sqrt{x+2},
(f\circ g)(2)=2,\quad (g\circ f)(7)=0.

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