Use polar coordinates to find the limit. [If (r, \theta) are polar coordinates of the point (x, y) with r \geqslant 0, note that r \rightarrow 0^{+} as (x, y) \rightarrow(0,0).]
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{-x^{3}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{-x^{3}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}
usando coordenadas polares. Vamos usar que em polares x = r\cos\theta, y=r\sin\theta e que r\to0^+ quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2}
e
-x^{3}-y^{2}=-r^{3}\cos^{3}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta.
Logo a expressão vira
\frac{e^{-r^{3}\cos^{3}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta}-1}{r^{2}}.

Passo 3

Defina
u = -r^{3}\cos^{3}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta.
Como u\to0 quando r\to0, aplicamos a expansão
e^{u}-1 = u + O(u^{2}).
Note que u = -r^{2}\sin^{2}\theta + O(r^{3}) e u^{2}=O(r^{4}). Assim
\frac{e^{u}-1}{r^{2}} = \frac{u}{r^{2}} + O(r^{2}) = -\sin^{2}\theta - r\cos^{3}\theta + O(r^{2}).

Passo 4

Ao fazer r\to0 com \theta fixo, a expressão tende a
-\sin^{2}\theta,
que depende de \theta. Ou seja, o valor varia conforme a direção de aproximação.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados