Find the limit, if it exists, or show that the limit does not exist.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}
quando (x,y)\to(0,0). Isso é um limite de função de duas variáveis; para verificar se existe, vamos testar caminhos diferentes até (0,0).

Passo 2

Escolha o caminho x=0. Substituindo em \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}} vem
\frac{0\cdot y^{4}}{0+y^{8}} = 0.
Logo, ao longo de x=0, o limite é 0.

Passo 3

Agora escolha o caminho x=y^{4}. Substituindo obtém-se
\frac{y^{4}\cdot y^{4}}{(y^{4})^{2}+y^{8}} = \frac{y^{8}}{y^{8}+y^{8}} = \frac{y^{8}}{2\,y^{8}} = \frac12.
Assim, ao longo de x=y^{4}, o limite é \tfrac12.

Passo 4

Como ao longo de x=0 o limite é 0 e ao longo de x=y^{4} o limite é \tfrac12, não há um valor único. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados