Considere as funções f(x)=x+2, g(x)=x+3, h(x)=|x| e F(x)=f(x) g(x). Encontre todos os valores de x \in \Re que satisfazem a inequação
(h \circ F)(x)<(h(x))^{2}-6 .

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x+2,\qquad g(x)=x+3,\qquad h(x)=|x|,\qquad F(x)=f(x)g(x).
Precisa-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação
(h\circ F)(x) < (h(x))^{2}-6 .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • F(x) é o produto de f(x) por g(x).
  • (h\circ F)(x) significa h\big(F(x)\big), ou seja, aplicar h ao valor F(x).
  • h(x)=|x| e (h(x))^{2}=(|x|)^{2}=x^{2}.
    As perguntas claras: resolver a inequação para x\in\mathbb{R} e obter o conjunto solução.

Passo 2

Calcular explicitamente F(x) e cada lado da inequação.
Primeiro F(x)=f(x)g(x). Multiplicando:
F(x)=(x+2)(x+3)=x^{2}+5x+6.
Agora calcular (h\circ F)(x) e (h(x))^{2}-6:
(h\circ F)(x)=\big|F(x)\big|=\big|x^{2}+5x+6\big|, \qquad (h(x))^{2}-6=x^{2}-6.
Portanto a inequação fica
\big|x^{2}+5x+6\big| < x^{2}-6.

Passo 3

Entender a propriedade do valor absoluto e suas implicações na inequação.
Lembrete importante sobre desigualdades com valor absoluto: se temos \big|A\big|<B com B real, isso só pode acontecer quando B>0. De fato, \big|A\big|\ge 0 sempre; se B\le 0 não existe A tal que \big|A\big|<B. Então é necessário exigir primeiro
x^{2}-6>0,
ou seja
x^{2}>6 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|>\sqrt{6}.
Portanto qualquer solução precisa satisfazer |x|>\sqrt{6}. Agora, supondo x^{2}-6>0, a equivalência para \big|A\big|<B é a dupla desigualdade
-B < A < B.
Aplicando aqui com A=x^{2}+5x+6 e B=x^{2}-6, obtemos a condição equivalente (válida somente quando x^{2}-6>0):
-(x^{2}-6) < x^{2}+5x+6 < x^{2}-6.

Passo 4

Desenvolver a dupla desigualdade em duas partes separadas e simplificá-las.
A primeira desigualdade (à esquerda) é
-(x^{2}-6) < x^{2}+5x+6.
Calcule o lado esquerdo:
-(x^{2}-6)=-x^{2}+6.
Então
-x^{2}+6 < x^{2}+5x+6.
Transpondo tudo para um lado:
0 < 2x^{2}+5x.
Ou seja
2x^{2}+5x>0.
A segunda desigualdade (à direita) é
x^{2}+5x+6 < x^{2}-6.
Cancelando x^{2} dos dois lados:
5x+6 < -6.
Então
5x < -12 \quad\Longrightarrow\quad x < -\frac{12}{5}.
Note que -\dfrac{12}{5}=-2{,}4.
Resumo até agora: para solução precisamos simultaneamente de
\begin{cases} x^{2}-6>0,\\[4pt] 2x^{2}+5x>0,\\[4pt] x<-\dfrac{12}{5}. \end{cases}]

Passo 5

Resolver a inequação quadrática 2x^{2}+5x>0 detalhadamente.
Fatorando:
2x^{2}+5x = x(2x+5).
As raízes são x=0 e x=-\dfrac{5}{2}=-2{,}5. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, o gráfico da parábola abre para cima e a expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes. Logo
2x^{2}+5x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<-\frac{5}{2}\quad\text{ou}\quad x>0.
Explicando com palavras: o produto x(2x+5) é positivo quando ambos os fatores têm o mesmo sinal — ambos negativos (o que ocorre para x<-\tfrac{5}{2}) ou ambos positivos (o que ocorre para x>0).

Passo 6

Combinar todas as condições obtidas.
Relembrando as exigências:
  • x^{2}-6>0 equivale a |x|>\sqrt{6}, ou seja x<-\sqrt{6} ou x>\sqrt{6}.
  • 2x^{2}+5x>0 equivale a x<-\tfrac{5}{2} ou x>0.
  • Além disso precisamos x<-\tfrac{12}{5}=-2{,}4.
Analisar possibilidades:
  1. Tentativa com x>\sqrt{6} (parte positiva). Aqui x>\sqrt{6}\approx 2{,}449. Mas também precisamos x< -2{,}4, o que é impossível para x positivo. Portanto nenhuma solução com x>0.
  2. Tentativa com x<-\sqrt{6} (parte negativa). Aqui x é negativo e menor que -\sqrt{6}\approx -2{,}449. Também requeremos x< -2{,}4 — isso é automaticamente satisfeito por qualquer x<-\sqrt{6}. Além disso devemos satisfazer 2x^{2}+5x>0, que, na região negativa, fica satisfeita apenas se x<-\tfrac{5}{2}=-2{,}5 (pois para -\tfrac{5}{2}<x<0 a expressão é negativa). Assim, dentro da região negativa a condição extra é x<-\tfrac{5}{2}.
Observação sobre ordenação numérica: -\tfrac{5}{2}=-2{,}5 é mais à esquerda (mais negativo) que -\sqrt{6}\approx -2{,}449. Portanto a interseção das condições negativas é simplesmente
x < -\frac{5}{2}.
Portanto o conjunto de soluções é
(-\infty,\,-\tfrac{5}{2}).

Passo 7

Verificação rápida de consistência e dos extremos.
  • Teste com x=-3: F(-3)=(-3)^{2}+5(-3)+6=9-15+6=0, |F(-3)|=0, RHS x^{2}-6=9-6=3. Então 0<3 — satisfaz.
  • Teste com x=-2{,}45 (que está entre -2{,}5 e -\sqrt{6}): para esse x a condição 2x^{2}+5x>0 não é satisfeita, então deve falhar — confirma a necessidade de x<-\tfrac{5}{2}.
  • No extremo x=-\tfrac{5}{2}: tem-se igualdade |x^{2}+5x+6|=x^{2}-6 (verificar), então x=-\tfrac{5}{2} não pertence à solução porque a inequação é estrita <.
Tudo consistente com a solução final obtida.

Resposta

\displaystyle \left(-\infty,\,-\frac{5}{2}\right)

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