Entender a propriedade do valor absoluto e suas implicações na inequação.
Lembrete importante sobre desigualdades com valor absoluto: se temos \big|A\big|<B com B real, isso só pode acontecer quando B>0. De fato, \big|A\big|\ge 0 sempre; se B\le 0 não existe A tal que \big|A\big|<B. Então é necessário exigir primeiro
Resolver a inequação quadrática 2x^{2}+5x>0 detalhadamente.
Fatorando:
2x^{2}+5x = x(2x+5).
As raízes são x=0 e x=-\dfrac{5}{2}=-2{,}5. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, o gráfico da parábola abre para cima e a expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes. Logo
Explicando com palavras: o produto x(2x+5) é positivo quando ambos os fatores têm o mesmo sinal — ambos negativos (o que ocorre para x<-\tfrac{5}{2}) ou ambos positivos (o que ocorre para x>0).
Passo 6
Combinar todas as condições obtidas.
Relembrando as exigências:
x^{2}-6>0 equivale a |x|>\sqrt{6}, ou seja x<-\sqrt{6} ou x>\sqrt{6}.
2x^{2}+5x>0 equivale a x<-\tfrac{5}{2} ou x>0.
Além disso precisamos x<-\tfrac{12}{5}=-2{,}4.
Analisar possibilidades:
Tentativa com x>\sqrt{6} (parte positiva). Aqui x>\sqrt{6}\approx 2{,}449. Mas também precisamos x< -2{,}4, o que é impossível para x positivo. Portanto nenhuma solução com x>0.
Tentativa com x<-\sqrt{6} (parte negativa). Aqui x é negativo e menor que -\sqrt{6}\approx -2{,}449. Também requeremos x< -2{,}4 — isso é automaticamente satisfeito por qualquer x<-\sqrt{6}. Além disso devemos satisfazer 2x^{2}+5x>0, que, na região negativa, fica satisfeita apenas se x<-\tfrac{5}{2}=-2{,}5 (pois para -\tfrac{5}{2}<x<0 a expressão é negativa). Assim, dentro da região negativa a condição extra é x<-\tfrac{5}{2}.
Observação sobre ordenação numérica: -\tfrac{5}{2}=-2{,}5 é mais à esquerda (mais negativo) que -\sqrt{6}\approx -2{,}449. Portanto a interseção das condições negativas é simplesmente
x < -\frac{5}{2}.
Portanto o conjunto de soluções é
(-\infty,\,-\tfrac{5}{2}).
Passo 7
Verificação rápida de consistência e dos extremos.
Teste com x=-3: F(-3)=(-3)^{2}+5(-3)+6=9-15+6=0, |F(-3)|=0, RHS x^{2}-6=9-6=3. Então 0<3 — satisfaz.
Teste com x=-2{,}45 (que está entre -2{,}5 e -\sqrt{6}): para esse x a condição 2x^{2}+5x>0 não é satisfeita, então deve falhar — confirma a necessidade de x<-\tfrac{5}{2}.
No extremo x=-\tfrac{5}{2}: tem-se igualdade |x^{2}+5x+6|=x^{2}-6 (verificar), então x=-\tfrac{5}{2} não pertence à solução porque a inequação é estrita <.