Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt[3]{\frac{|x|}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função
f(x)=\sqrt[3]{\frac{|x|}{x+1}}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro da raiz é \dfrac{|x|}{x+1}.
  • A operação externa é uma raiz cúbica \sqrt[3]{\cdot}.
    A tarefa é listar todos os valores de x para os quais f(x) está bem definida (ou seja, onde faz sentido calcular essa expressão).

Passo 2

Verificar a parte |x|\): a função valor absoluto \(|x|\) está definida para todo número real. Explicando curto e bom: \[|x|=\begin{cases}x,& x\ge0,\\\\ -x,& x<0.\end{cases}
Portanto |x|\] não impõe restrição: qualquer \(x\in\mathbb{R} pode ser usado na expressão |x|.

Passo 3

Verificar a fração \dfrac{|x|}{x+1}: a divisão por zero é proibida. Logo é necessário exigir
x+1\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq-1.
Isto é, em x=-1 o denominador se anula e a expressão dentro da raiz não está definida.

Passo 4

Verificar a raiz cúbica \sqrt[3]{\cdot}: raízes ímpares (como a cúbica) estão definidas para qualquer número real, positivo, zero ou negativo. Ou seja, não há restrição adicional vinda da raiz do tipo “não-negatividade” (essa restrição só aparece em raízes de índice par). Exemplo ilustrativo:
\sqrt[3]{-8}=-2,\quad \sqrt[3]{0}=0,\quad \sqrt[3]{8}=2.
Portanto, desde que a fração \dfrac{|x|}{x+1} seja um número real (o que é verdade sempre que x\neq-1), a raiz cúbica existe.

Passo 5

Juntando tudo: |x| é definido para todo x, a raiz cúbica aceita qualquer real, e a única restrição vem do denominador x+1\neq0. Logo o único ponto excluído do domínio é x=-1.

Passo 6

Checagem rápida com valores:
  • x=0: \dfrac{|0|}{0+1}=0, \sqrt[3]{0}=0 — está no domínio.
  • x=1: \dfrac{|1|}{2}=\tfrac12, \sqrt[3]{\tfrac12} existe — está no domínio.
  • x=-2: \dfrac{|-2|}{-1}=\dfrac{2}{-1}=-2, \sqrt[3]{-2} existe — está no domínio.
  • x=-1: denominador 0 — não está no domínio.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\} = (-\infty,-1)\cup(-1,\infty)

Exercícios relacionados