Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio de
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão contém o valor absoluto
. - Há uma raiz quadrada
, portanto o radicando deve ser maior ou igual a zero. - Há uma divisão por
, portanto é proibido ter (ou seja, ).
Passo 2
Reescrever a condição de domínio explicitamente: precisamos encontrar todos os
tais que
Explicação didática: a raiz quadrada só está definida para radicando não-negativo; além disso, divisão por zero é proibida. Portanto o domínio é o conjunto de
que satisfazem a desigualdade acima e não anulam o denominador.
Passo 3
Observação sobre
Logo convém separar os casos
e
.]
Passo 4
Caso
: então
e
. O radicando vale
que é admissível (raiz de
é
). Logo
pertence ao domínio.
Passo 5
Caso
: aqui
. A fração fica
. Como o numerador é positivo, para que a fração seja
é necessário (e suficiente) que o denominador seja positivo, isto é
. Mas para
isso já vale (pois
). Além disso
é automático. Portanto todo
pertence ao domínio.
Passo 6
Caso
: aqui
. A fração fica
com numerador positivo. Para que a fração seja
é preciso que o denominador seja positivo, isto é
. A desigualdade
é equivalente a
. Juntando com
obtemos
. Note que
já está excluído pela condição do denominador. Portanto os
negativos que pertencem ao domínio são exatamente os de
.
Passo 7
Reunindo todos os casos: temos
,
e
. Isso é o mesmo que
.