Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{\frac{|x|}{x+1}}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{\dfrac{|x|}{x+1}} e pede o domínio de f.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão contém o valor absoluto |x|.
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}, portanto o radicando deve ser maior ou igual a zero.
  • Há uma divisão por x+1, portanto é proibido ter x+1=0 (ou seja, x\neq -1).

Passo 2

Reescrever a condição de domínio explicitamente: precisamos encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que
\frac{|x|}{x+1}\ge 0 \qquad\text{e}\qquad x\neq -1.
Explicação didática: a raiz quadrada só está definida para radicando não-negativo; além disso, divisão por zero é proibida. Portanto o domínio é o conjunto de x que satisfazem a desigualdade acima e não anulam o denominador.

Passo 3

Observação sobre |x|\): por definição \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se }x<0. \end{cases}
Logo convém separar os casos x>0\], \(x=0 e x<0.]

Passo 4

Caso x=0: então |x|=0 e x+1=1\neq 0. O radicando vale
\frac{|0|}{0+1}=\frac{0}{1}=0,
que é admissível (raiz de 0 é 0). Logo x=0 pertence ao domínio.

Passo 5

Caso x>0: aqui |x|=x>0. A fração fica \dfrac{x}{x+1}. Como o numerador é positivo, para que a fração seja \ge 0 é necessário (e suficiente) que o denominador seja positivo, isto é x+1>0. Mas para x>0 isso já vale (pois x+1>1>0). Além disso x\neq -1 é automático. Portanto todo x>0 pertence ao domínio.

Passo 6

Caso x<0: aqui |x|=-x>0. A fração fica \dfrac{-x}{x+1} com numerador positivo. Para que a fração seja \ge 0 é preciso que o denominador seja positivo, isto é x+1>0. A desigualdade x+1>0 é equivalente a x>-1. Juntando com x<0 obtemos -1<x<0. Note que x=-1 já está excluído pela condição do denominador. Portanto os x negativos que pertencem ao domínio são exatamente os de (-1,0).

Passo 7

Reunindo todos os casos: temos x\in(-1,0), x=0 e x>0. Isso é o mesmo que x\in(-1,\infty).

Resposta

(-1,\infty)

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