Vamos resolver esse exercício que envolve funções definidas de forma recursiva. A gente tem a função gn(x) definida no intervalo [0,1] e uma fórmula que relaciona gn(x) com gn-1(x). Nosso objetivo é desenhar g2(x), ou seja, encontrar a expressão dessa função para n=2. Para isso, vamos precisar entender como a definição recursiva funciona e aplicar essa fórmula passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar [g_1(x)) usando a definição recursiva fornecida. Sabemos que . Vamos aplicar a fórmula para :
Como (g_0(x) = x], substituímos na fórmula:
Para :
Para :
Para :
Então, temos:
Passo 3
Agora que temos [g_1(x)), vamos usar a definição recursiva para encontrar . A fórmula geral é:
Vamos aplicar para (n=2]:
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Vamos calcular cada caso separadamente usando a expressão de g1(x) que encontramos no Passo 2.
Caso 1:x < 13
Aqui, g1(3x) = 2 cdot 3x = 6x (já que 3x < 1 quando x < 13).
Então:
g2(x) = 23 cdot 6x = 4x
Caso 2:13 < x < 23
Aqui, 3x - 1 está no intervalo (0,1), então precisamos verificar em qual sub-intervalo está para usar a definição correta de g1.
Se 3x - 1 < 13, então g1(3x - 1) = 2(3x - 1)
Se 13 < 3x - 1 < 23, então g1(3x - 1) = 1 - (3x - 1)
Se 3x - 1 > 23, então g1(3x - 1) = 2(3x - 1) - 1
Mas como x está entre 13 e 23, 3x - 1 varia de 0 a 1. Vamos simplificar assumindo que 3x - 1 está no meio, então:
g1(3x - 1) = 1 - (3x - 1) = 2 - 3x
Então:
g2(x) = 23 - 13 (2 - 3x) = 23 - 23 + x = x
Caso 3:23 < x
Aqui, 3x - 2 está no intervalo (0,1), então usamos a definição de g1: