Decida se as seguintes proposições são falsas ou verdadeiras. Justifique.
Se(2 x-4)(x-3)>0, então x<2.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a implicação
Se (2x-4)(x-3)>0, então x<2 ã
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos primeiro resolver a inequação (2x-4)(x-3)>0 e depois verificar se todos os x que a satisfazem também satisfazem x<2.

Passo 2

Identificamos os zeros dos fatores:
2x-4=0implies x=2, x-3=0implies x=3
Fazendo o diagrama de sinais na reta real:
  • Para x<2: 2x-4<0 e x-3<0, logo o produto é +.
  • Para 2<x<3: 2x-4>0 e x-3<0, logo o produto é -.
  • Para x>3: 2x-4>0 e x-3>0, logo o produto é +.
Portanto
xmid(2x-4)(x-3)>0=(-infty,2),cup,(3,infty)

Passo 3

A implicação seria verdadeira se todo x em (-infty,2)cup(3,infty) satisfizesse x<2. Mas notamos que, para x>3, a condição (2x-4)(x-3)>0 vale e, ao mesmo tempo, x<2 é falsa. Por exemplo, x=4
(2cdot4-4)(4-3)=4>0,
porém 4<2 é falso. Logo há contraexemplo e a implicação é falsa.

Resposta

A proposição é falsa.

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