Considere as funções g(x)=x^{2}-1+|x-1| e h(x)=\frac{1}{x-2}.
(a) A função g é uma função par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justifique com argumentos consistentes.
(b) Determine o conjunto solução da inequação g(x-1) h(x)<h^{-1}\left(\frac{1}{3}\right).
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Funções dadas:
g(x)=x^{2}-1+|x-1|.
h(x)=\dfrac{1}{x-2}.
Perguntas:
(a) A função g é par, ímpar ou nem par nem ímpar? Justificar com argumentos.
(b) Determinar o conjunto solução da inequaçãog(x-1)\,h(x) < h^{-1}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Observações úteis que já dá pra listar:
h é definida para x\neq 2 (pois x=2 zera o denominador).
Para resolver (b) vai ser preciso encontrar h^{-1} (a inversa de h), calcular g(x-1) e tratar a inequação respeitando a remoção do ponto x=2.
Passo 2
Entendendo paridade (breve aula rápida e intuitiva)
Uma função f é par se, para todo x do domínio, vale f(-x)=f(x). Geometricamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Uma função f é ímpar se, para todo x, vale f(-x)=-f(x). Geometricamente, o gráfico tem simetria central na origem.
Se nenhuma das duas igualdade vale para todo x, dizemos que a função é “nem par nem ímpar”.
Estratégia prática: calcular g(-x) e comparar com g(x) e com -g(x). Um contraexemplo (um x que falhe) basta para provar que não é par e outro para não ser ímpar.
Passo 3
Expressão de [g) em forma piecewise (isso facilita comparar g(x) com g(-x))
Recorde: |x-1| tem a forma:|x-1|=\begin{cases} x-1,& x\ge 1,\\[4pt] 1-x,& x<1. \end{cases}
Substituindo em g(x)=x^{2}-1+|x-1|\] obtemos:
\[g(x)=\begin{cases} x^{2}-1+(x-1)=x^{2}+x-2, & x\ge 1,\\[4pt] x^{2}-1+(1-x)=x^{2}-x, & x<1. \end{cases}\]
- Agora calcule \(g(-x) pela definição direta:g(-x)=(-x)^{2}-1+|-x-1|=x^{2}-1+|-(x+1)|=x^{2}-1+|x+1|.Se quiser escrever piecewise, note que |x+1|=(x+1) se x\ge -1, e |x+1|=-(x+1) se x<-1. Mas não precisamos detalhar isso para um contraexemplo.]
Passo 4
Fornecendo um contraexemplo que prova que g não é par e não é ímpar (explicação clara)
Teste para paridade: escolher x=2.
g(2)=2^{2}-1+|2-1|=4-1+1=4.
g(-2)=(-2)^{2}-1+|-2-1|=4-1+3=6.
Como g(2)=4\neq 6=g(-2), g(-x)\neq g(x) para x=2. Logo g não é par.
Teste para imparidade: usar o mesmo x=2.
-g(2)=-4, mas g(-2)=6\neq -4. Logo g(-x)\neq -g(x) para x=2. Portanto g não é ímpar.
Conclusão: pela existência desses contraexemplos, g é nem par nem ímpar.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b): encontrar h^{-1}\!\left(\tfrac{1}{3}\right) — como inverter h (mini-aula sobre inversa)
Para achar a inversa de h, resolvemos y=h(x)=\dfrac{1}{x-2} em termos de x. Começamos por escrever:y=\frac{1}{x-2}.
Invertendo a relação: \dfrac{1}{y}=x-2. Assimx=2+\frac{1}{y}.
Portanto a inversa éh^{-1}(y)=2+\frac{1}{y},\qquad y\neq 0.
A inequação dada ég(x-1)\,h(x) < h^{-1}\!\left(\tfrac{1}{3}\right).
Substituindo g(x-1)=x^{2}-2x+|x-2|, h(x)=\dfrac{1}{x-2} e o valor do inverso 5, obtemos\frac{x^{2}-2x+|x-2|}{x-2} < 5,com a observação importante: x\neq 2 (domínio de h).
Estratégia: tratar a expressão por casos conforme o valor de x em relação a 2, porque |x-2| muda de fórmula em x=2.
Passo 8
Caso 1: x>2 (aqui |x-2|=x-2)
Substituindo |x-2|=x-2 em g(x-1):g(x-1)=x^{2}-2x+(x-2)=x^{2}-x-2.
A razão fica\frac{x^{2}-x-2}{x-2}.
Note que x^{2}-x-2 fatoriza:x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Para x\neq 2 podemos simplificar:\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1.(Lembrando que x=2 é excluído; aqui estamos em x>2 então a simplificação é válida.)
A inequação reduz-se ax+1<5 \quad\Rightarrow\quad x<4.
Juntando com a condição do caso (x>2), obtemos a solução do caso 1:2<x<4.
Passo 9
Caso 2: x<2 (aqui |x-2|=2-x)
Substituindo |x-2|=2-x em g(x-1):g(x-1)=x^{2}-2x+(2-x)=x^{2}-3x+2.
A razão fica\frac{x^{2}-3x+2}{x-2}.
Fatorize o numerador:x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Para x\neq 2 podemos simplificar:\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1.(Aqui x<2, então x\neq 2 e a simplificação é válida.)
A inequação reduz-se ax-1<5 \quad\Rightarrow\quad x<6.
Juntando com a condição do caso (x<2), vemos que toda a região x<2 satisfaz x<6. Portanto a solução do caso 2 é(-\infty,2).
Passo 10
Reunir soluções, verificar pontos especiais e conclusão
União das soluções dos dois casos, lembrando de excluir x=2:(-\infty,2)\cup(2,4).
Verificações rápidas por amostras:
Escolher x=0 (está em (-\infty,2)): cálculo rápido dá valor menor que 5 — consistente.
Escolher x=3 (está em (2,4)): na simplificação do caso 1 a expressão vale x+1=4 que é <5 — consistente.
Escolher x=5 (fora da solução): expressão vale x+1=6 que não é menor que 5 — consistente.
Portanto a solução final para a inequação é (-\infty,2)\cup(2,4).
Resposta
(a) g é nem par nem ímpar.
(b) (-\infty,2)\cup(2,4)