Determine o domínio das funções:
f(x)=\sqrt{\log _{a}(4-x)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\sqrt{\log_{a}(4-x)}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função depende da expressão \log_{a}(4-x) dentro de uma raiz quadrada.
  • A base do logaritmo é a (uma constante), mas o enunciado não especifica o valor de a.
  • Não há figura ou outro dado adicional.
O que precisamos encontrar: para quais valores de x a expressão \sqrt{\log_{a}(4-x)} faz sentido (é bem definida como número real), dependendo dos possíveis valores da base a.

Passo 2

Condição obrigatória vinda da raiz quadrada: o radicando deve ser não negativo. Ou seja, é necessário
\log_{a}(4-x)\ge 0.
Vou explicar devagar: a raiz quadrada real \sqrt{y} está definida apenas quando y\ge 0. Aqui y=\log_{a}(4-x), então precisamos que esse logaritmo seja maior ou igual a zero.

Passo 3

Condição obrigatória vinda do logaritmo: o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Ou seja,
4-x>0.
Explicando: \log_{a}(t) só existe (no sentido real) se t>0. Portanto precisamos sempre de 4-x>0, que é equivalente a
x<4.

Passo 4

Condição sobre a base a: para que \log_{a}(\cdot) seja definido como logaritmo real usamos a condição padrão
a>0\quad\text{e}\quad a\neq 1.
Se a\le 0 ou a=1, a expressão \log_a não é válida como logaritmo real, então a função não está definida (não há domínio real). Vou, portanto, separar os casos úteis: a>1 e 0<a<1, porque o sinal da desigualdade ao manipular \log_a(\cdot)\ge 0 depende se a base é maior ou menor que 1.

Passo 5

Propriedade importante (explicação didática): o logaritmo \log_{a}(t) tem comportamento diferente conforme a:
  • Se a>1, a função t\mapsto\log_{a}(t) é crescente. Assim \log_{a}(t)\ge 0 equivale a t\ge 1.
  • Se 0<a<1, a função t\mapsto\log_{a}(t) é decrescente. Assim \log_{a}(t)\ge 0 equivale a t\le 1 (mas sempre lembrando que t>0).
Essas equivalências vêm da definição: \log_a(t)=c significa a^{c}=t. Se c\ge 0 então t=a^{c}\ge a^{0}=1 quando a>1; e se 0<a<1 então a^{c}\le 1 para c\ge 0.

Passo 6

Caso a>1. Aplicando a observação anterior com t=4-x:
\log_{a}(4-x)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4-x\ge 1.
Resolvendo 4-x\ge 1:
4-x\ge 1 \iff -x\ge -3 \iff x\le 3.
Lembrando também da condição do argumento do logaritmo x<4. A interseção de x\le 3 com x<4 é simplesmente x\le 3. Portanto, para a>1 o domínio em x é
(-\infty,\,3].
Cheque rápido de sentido: em x=3 temos 4-x=1, \log_{a}(1)=0 e \sqrt{0}=0 está permitido.

Passo 7

Caso 0<a<1. Agora a função logaritmo é decrescente, então
\log_{a}(4-x)\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4-x\le 1.
Resolvendo 4-x\le 1:
4-x\le 1 \iff -x\le -3 \iff x\ge 3.
Novamente temos que respeitar x<4 (do argumento do log). Interseção de x\ge 3 com x<4 é
[3,\,4).
Em x=3 novamente a expressão vale 0 dentro da raiz, permitido; em x\to 4^- o argumento do log tende para 0^+, que é permitido para o log mas não inclui x=4.

Passo 8

Caso a\le 0 ou a=1. Nesses valores a notação \log_{a} não define um logaritmo real (base inválida), logo a função não está definida para valores reais de x. Portanto não há domínio real da função nesses casos.

Passo 9

Resumo final (placar): juntando tudo temos os domínios dependendo da base a.

Resposta

Se a>1:\; D = (-\infty,\,3]
Se 0<a<1:\; D = [3,\,4)
Se a\le 0 ou a=1:\; \text{a base é inválida, não há domínio real}éáãáí

Exercícios relacionados