Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função depende da expressão
dentro de uma raiz quadrada. - A base do logaritmo é
(uma constante), mas o enunciado não especifica o valor de . - Não há figura ou outro dado adicional.
O que precisamos encontrar: para quais valores de
a expressão
faz sentido (é bem definida como número real), dependendo dos possíveis valores da base
.
Passo 2
Condição obrigatória vinda da raiz quadrada: o radicando deve ser não negativo. Ou seja, é necessário
Vou explicar devagar: a raiz quadrada real
está definida apenas quando
. Aqui
, então precisamos que esse logaritmo seja maior ou igual a zero.
Passo 3
Condição obrigatória vinda do logaritmo: o argumento do logaritmo precisa ser positivo. Ou seja,
Explicando:
só existe (no sentido real) se
. Portanto precisamos sempre de
, que é equivalente a
Passo 4
Condição sobre a base
: para que
seja definido como logaritmo real usamos a condição padrão
Se
ou
, a expressão
não é válida como logaritmo real, então a função não está definida (não há domínio real). Vou, portanto, separar os casos úteis:
e
, porque o sinal da desigualdade ao manipular
depende se a base é maior ou menor que
.
Passo 5
Propriedade importante (explicação didática): o logaritmo
tem comportamento diferente conforme
:
- Se
, a função é crescente. Assim equivale a . - Se
, a função é decrescente. Assim equivale a (mas sempre lembrando que ).
Essas equivalências vêm da definição:
significa
. Se
então
quando
; e se
então
para
.
Passo 6
Caso
. Aplicando a observação anterior com
:
Resolvendo
:
Lembrando também da condição do argumento do logaritmo
. A interseção de
com
é simplesmente
. Portanto, para
o domínio em
é
Cheque rápido de sentido: em
temos
,
e
está permitido.
Passo 7
Caso
. Agora a função logaritmo é decrescente, então
Resolvendo
:
Novamente temos que respeitar
(do argumento do log). Interseção de
com
é
Em
novamente a expressão vale
dentro da raiz, permitido; em
o argumento do log tende para
, que é permitido para o log mas não inclui
.
Passo 8
Caso
ou
. Nesses valores a notação
não define um logaritmo real (base inválida), logo a função não está definida para valores reais de
. Portanto não há domínio real da função nesses casos.
Passo 9
Resumo final (placar): juntando tudo temos os domínios dependendo da base
.
Resposta
Se
Se
Se ou
Se
Se