Determine quais das funções abaixo, de \mathbb{R} em \mathbb{R}, são injetoras e quais são sobrejetoras. Justifique suas respostas. y=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}, \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, \text { se } x=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para determinar, justificando, quais das propriedades a função abaixo tem: injetora e/ou sobrejetora. A função é de \mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\) e está definida por
\[f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x}, &\text{se }x\neq 0,\\[6pt] 0, &\text{se }x=0. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
Domínio: \mathbb{R}\].
- Contradomínio: \(\mathbb{R}.
- Para x\neq0 a fórmula é f(x)=\dfrac{1}{x}.
- Para x=0 o valor é f(0)=0.]
Passo 2
Primeiro relembrar as definições (com explicação amiguinha):
Injetiva (ou um a um): f é injetiva se, sempre que f(a)=f(b), isso implica a=b. Em palavras: dois argumentos diferentes nunca têm a mesma imagem.
Sobrejetiva (ou sobre): f é sobrejetiva se, para todo y no contradomínio \mathbb{R}, existe ao menos um x no domínio tal que f(x)=y. Em palavras: toda saída desejada tem pelo menos uma entrada que a produz.
\text{Sobrejetiva} \iff \bigl(\forall y\in\mathbb{R},\\ \exists x\in\mathbb{R}\text{ com }f(x)=y\bigr).
Métodos que usaremos:
Para injetividade: assumir f(a)=f(b) e provar que isso força a=b; dividir em casos conforme a ou b sejam zero ou não.
Para sobrejetividade: tomar um y arbitrário e construir um x com f(x)=y (resolver a equação f(x)=y).
Passo 3
Prova de injetividade (passo a passo):
Suponha a,b\in\mathbb{R} e f(a)=f(b). Vamos analisar casos.
Caso 1: a=0 e b=0.
Então obviamente a=b.
Caso 2: um é zero e o outro não. Sem perda de generalidade, suponha a=0 e b\neq 0.
Então f(a)=f(0)=0. Mas f(b)=\dfrac{1}{b} (porque b\neq0), e \dfrac{1}{b}\neq 0. Logo f(a)\neq f(b). Isso contradiz a hipótese f(a)=f(b). Portanto esse caso não ocorre quando f(a)=f(b).
Caso 3: a\neq 0 e b\neq 0.
Então f(a)=\dfrac{1}{a} e f(b)=\dfrac{1}{b}. A hipótese f(a)=f(b) fica
\frac{1}{a}=\frac{1}{b}.
Como a e b são não nulos, podemos multiplicar ambos os lados por ab sem problema:
b=a.
Assim, deste caso também obtemos a=b.
Conclusão do passo: em todos os casos, a hipótese f(a)=f(b) implica a=b. Logo f é injetiva.
(Comentário prático: não há dois x distintos com 1/x igual, e 0 é atingido só por x=0.)
Passo 4
Pequena digressão didática rápida: quando a função é definida por uma fórmula que tem comportamento diferente em um ponto isolado (aqui x=0), convém sempre checar separadamente o caso desse ponto porque ele pode causar colisões de imagens. Fizemos isso acima e não apareceu colisão.
Passo 5
Prova de sobrejetividade (step-by-step construtivo):
Tomar um y\in\mathbb{R} arbitrário e mostrar que existe x\in\mathbb{R} com f(x)=y.
Se y=0: escolhe-se x=0. Verifica-se f(0)=0=y.
Se y\neq 0: resolvemos \dfrac{1}{x}=y. A solução é
x=\frac{1}{y}.
Como y\neq 0, esse x está bem definido e é um número real diferente de zero. Para esse x temos
f\!\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\,1/y\,}=y.
Portanto para qualquer y\neq0 encontramos um x (especificamente x=1/y) com f(x)=y.
Como tratamos ambos os casos (y=0 e y\neq0), mostramos que para todo y\in\mathbb{R} existe x\in\mathbb{R} com f(x)=y. Logo f é sobrejetiva.
Passo 6
Conclusão final e observação simpática:
A função é injetiva (mostrado no Passo 3).
A função é sobrejetiva (mostrado no Passo 5).
Logo f é bijetora (injetora e sobrejetora).
Observação: a função é sua própria inversa, isto é, f^{-1}=f, porque a mesma regra vale trocando x e y: para y\neq0 tem-se x=1/y e para y=0 tem-se x=0.