Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio:
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
- A base do logaritmo é
. - O argumento do logaritmo é
.
A pergunta é: para quais valores deessa expressão faz sentido (ou seja, qual é o domínio de )?
Passo 2
Regras essenciais sobre logaritmo (mini-aula): para
ser definido é preciso que:
- A base
satisfaça e . - O argumento satisfaça
.
Aqui a base é
. Verificando a condição 1:
logo a base é válida. Portanto o que nos resta é aplicar a condição 2 ao argumento
.
Passo 3
As duas condições que o
deve satisfazer são:
A segunda condição é equivalente a
(para evitar divisão por zero). A primeira é uma desigualdade de sinal que vamos resolver.
Passo 4
Fatorando o denominador, escrevemos a desigualdade como
Os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero) são
,
e
. Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos onde o sinal da expressão é constante.
Passo 5
Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo usando pontos-teste:
-
Intervalo
. Teste : Calculando:, então . Logo o sinal é negativo neste intervalo. Não serve. -
Intervalo
. Teste : Aqui o valor é positivo, então a desigualdade é satisfeita em. -
Intervalo
. Teste : Aqui é negativo, não serve. -
Intervalo
. Teste : Aqui é positivo, então a desigualdade é satisfeita em.
Passo 6
Agora consideramos os pontos críticos:
-
e são proibidos porque anulam o denominador ( ). -
faz o numerador zero, então , mas o logaritmo exige argumento estritamente positivo; portanto também é proibido.
Juntando os intervalos onde a desigualdade é verdadeira e excluindo os pontos proibidos, obtemos o domínio: