Determine o domínio das funções:
f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(\frac{x}{x^{2}-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede o domínio:
f(x)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{x}{x^{2}-1}\right).
As informações relevantes extraídas do enunciado são:
  • A base do logaritmo é \frac{1}{2}.
  • O argumento do logaritmo é \dfrac{x}{x^{2}-1}.
    A pergunta é: para quais valores de x essa expressão faz sentido (ou seja, qual é o domínio de f)?

Passo 2

Regras essenciais sobre logaritmo (mini-aula): para \log_{a}(y) ser definido é preciso que:
  1. A base a satisfaça a>0 e a\neq 1.
  2. O argumento satisfaça y>0.
Aqui a base é a=\dfrac{1}{2}. Verificando a condição 1:
\dfrac{1}{2}>0\quad\text{e}\quad \dfrac{1}{2}\neq 1,
logo a base é válida. Portanto o que nos resta é aplicar a condição 2 ao argumento \dfrac{x}{x^{2}-1}.

Passo 3

As duas condições que o x deve satisfazer são:
\frac{x}{x^{2}-1}>0 \qquad\text{e}\qquad x^{2}-1\neq 0.
A segunda condição é equivalente a x\neq \pm 1 (para evitar divisão por zero). A primeira é uma desigualdade de sinal que vamos resolver.

Passo 4

Fatorando o denominador, escrevemos a desigualdade como
\frac{x}{(x-1)(x+1)}>0.
Os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero) são x=-1, x=0 e x=1. Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos onde o sinal da expressão é constante.

Passo 5

Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo usando pontos-teste:
  • Intervalo (-\infty,-1). Teste x=-2:
    \frac{-2}{(-2-1)(-2+1)}=\frac{-2}{(-3)(-1)}=\frac{-2}{3}>0\\ ?
    Calculando: (-3)(-1)=3, então \frac{-2}{3}=-\tfrac{2}{3}<0. Logo o sinal é negativo neste intervalo. Não serve.
  • Intervalo (-1,0). Teste x=-\tfrac{1}{2}:
    \frac{-\tfrac{1}{2}}{\bigl(-\tfrac{1}{2}-1\bigr)\bigl(-\tfrac{1}{2}+1\bigr)} =\frac{-\tfrac{1}{2}}{(-\tfrac{3}{2})(\tfrac{1}{2})} =\frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{3}{4}}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{3}=\tfrac{2}{3}>0.
    Aqui o valor é positivo, então a desigualdade é satisfeita em (-1,0).
  • Intervalo (0,1). Teste x=\tfrac{1}{2}:
    \frac{\tfrac{1}{2}}{\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}+1\bigr)} =\frac{\tfrac{1}{2}}{(-\tfrac{1}{2})(\tfrac{3}{2})} =\frac{\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{3}{4}}=-\tfrac{2}{3}<0.
    Aqui é negativo, não serve.
  • Intervalo (1,\infty). Teste x=2:
    \frac{2}{(2-1)(2+1)}=\frac{2}{1\cdot 3}=\tfrac{2}{3}>0.
    Aqui é positivo, então a desigualdade é satisfeita em (1,\infty).

Passo 6

Agora consideramos os pontos críticos:
  • x=-1 e x=1 são proibidos porque anulam o denominador ( x^{2}-1=0).
  • x=0 faz o numerador zero, então \dfrac{x}{x^{2}-1}=0, mas o logaritmo exige argumento estritamente positivo; portanto x=0 também é proibido.
Juntando os intervalos onde a desigualdade é verdadeira e excluindo os pontos proibidos, obtemos o domínio:
(-1,0)\cup(1,\infty).

Resposta

(-1,0)\cup(1,\infty)

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