Determine quais das funções abaixo são pares ou ímpares.
f(t)=|t|;

Passo 1

O enunciado pede: “Determine quais das funções abaixo são pares ou ímpares.” A função dada é f(t)=|t|.
Informações relevantes:
  • A função é f(t)=|t|.
  • Não há restrição explícita no domínio, então assumir o domínio natural de f: todos os números reais.
  • A pergunta é: a função é par, ímpar, ambas (só acontece se for identicamente zero) ou nenhuma?

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Uma função f é par se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=f(t).
Isto significa que o valor da função ao refletir t para -t não muda: gráfico simétrico em relação ao eixo vertical.
  • Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, valer
f(-t)=-f(t).
Isto significa que ao refletir t para -t o valor muda de sinal: gráfico simétrico em relação à origem.

Passo 3

Verificar o domínio de f. A função valor absoluto está definida para qualquer número real, portanto o domínio é \mathbb{R}. Assim podemos testar as propriedades das definições para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Calcular f(-t). Pela definição de f,
f(-t)=|-t|.
Agora usar a propriedade fundamental do valor absoluto: para qualquer número real t,
|-t|=|t|.
Intuitivamente, o valor absoluto mede a distância até zero, e a distância de t até zero é a mesma que de -t até zero.

Passo 5

Comparar com a condição de paridade:
  • Como para todo t\in\mathbb{R} vale f(-t)=|-t|=|t|=f(t), satisfazemos exatamente a condição de função par. Logo f é par.
    Para verificar que não é ímpar, basta um contraexemplo simples: tome t=1. Então
f(-1)=|-1|=1
e
-f(1)=-|1|=-1.
Como 1\neq -1, não vale f(-1)=-f(1), logo f não é ímpar.

Resposta

A função f(t)=|t| é par (e não é ímpar).

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