Determine quais das funções abaixo são pares ou ímpares.
;
Passo 1
O enunciado pede: “Determine quais das funções abaixo são pares ou ímpares.” A função dada é
.
Informações relevantes:
- A função é
. - Não há restrição explícita no domínio, então assumir o domínio natural de
: todos os números reais. - A pergunta é: a função é par, ímpar, ambas (só acontece se for identicamente zero) ou nenhuma?
Passo 2
Definições que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, valer
Isto significa que o valor da função ao refletir
para
não muda: gráfico simétrico em relação ao eixo vertical.
- Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, valer
Isto significa que ao refletir
para
o valor muda de sinal: gráfico simétrico em relação à origem.
Passo 3
Verificar o domínio de
. A função valor absoluto está definida para qualquer número real, portanto o domínio é
. Assim podemos testar as propriedades das definições para todo
.
Passo 4
Calcular
. Pela definição de
,
Agora usar a propriedade fundamental do valor absoluto: para qualquer número real
,
Intuitivamente, o valor absoluto mede a distância até zero, e a distância de
até zero é a mesma que de
até zero.
Passo 5
Comparar com a condição de paridade:
- Como para todo
vale , satisfazemos exatamente a condição de função par. Logo é par.
Para verificar que não é ímpar, basta um contraexemplo simples: tome. Então
e
Como
, não vale
, logo
não é ímpar.
Resposta
A função
é par (e não é ímpar).