Considere as funções dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I)
dada por
.
(II)
dada por
.
(III)
dada por
.
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
(C) Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.
(I)
(II)
(III)
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
(C) Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.
Passo 1
O enunciado nos dá três aplicações e pede para identificar quais delas são transformações lineares. Lembrando que
é linear se, e somente se, para quaisquer
e escalar
, vale
ou equivalentemente
. Vamos testar essa propriedade em cada item.
Passo 2
Item (I):
dada por
Primeiro expandimos a parte quadrática:
Logo
que é da forma matriz
. Assim
e a aditividade e homogeneidade são satisfeitas, então
é linear.
Passo 3
Item (II):
dada por
Note que
. Logo
, falhando a condição
. Portanto
não é linear.
Passo 4
Item (III):
dada por
Embora
, a primeira componente é não linear em
(envolve
). Por exemplo,
Logo
não satisfaz homogeneidade e não é linear.
Passo 5
Das três aplicações, apenas a do item (I) é linear, pois as dos itens (II) e (III) não preservam aditividade e homogeneidade.
Resposta
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.