Considere as funções dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=((x+1)^2+3 z-(x-1)^2, 5 x-y).
(II) U: P2(R) P2(R) dada por U(a x^2+b x+c)=c x^2+(a+b) x+1.
(III) S: R^2 R^2 dada por S(x, y)=(1-cos y,-x+5 y).
Marque qual das afirmativas abaixo é VERDADEIRA:
(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.
(B) Apenas a função do item (II) é uma transformação linear.
(C) Apenas a função do item (III) é uma transformação linear.
(D) Apenas as funções dos ítens (I) e (II) são transformações lineares.
(E) Apenas as funções dos ítens (I) e (III) são transformações lineares.
(F) Apenas as funções dos ítens (II) e (III) são transformações lineares.
(G) As funções dos ítens (I), (II) e (III) são transformações lineares.
(H) Nenhuma das funções apresentadas é transformação linear.

Passo 1

O enunciado nos dá três aplicações e pede para identificar quais delas são transformações lineares. Lembrando que Tcolon Vto W é linear se, e somente se, para quaisquer u,vin V e escalar lambda, vale
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda u)=lambda,T(u),
ou equivalentemente T(0)=0. Vamos testar essa propriedade em cada item.

Passo 2

Item (I): TcolonR^3toR^2 dada por
T(x,y,z)=l((x+1)^2+3z-(x-1)^2,;5x-yr)
Primeiro expandimos a parte quadrática:
(x+1)^2 - (x-1)^2 = l(x^2+2x+1r)-l(x^2-2x+1r) =4x
Logo
T(x,y,z)=(4x+3z,;5x-y),
que é da forma matriz 4&0&35&-1&0!(x,y,z). Assim T(0,0,0)=(0,0) e a aditividade e homogeneidade são satisfeitas, então T é linear.

Passo 3

Item (II): Ucolon P2(R)to P2(R) dada por
Ul(ax^2+bx+cr)=cx^2+(a+b)x+1
Note que U(0cdot x^2+0cdot x+0)=1neq 0. Logo U(0)neq0, falhando a condição U(0)=0. Portanto U não é linear.

Passo 4

Item (III): ScolonR^2toR^2 dada por
S(x,y)=(1-cos y,,-x+5y)
Embora S(0,0)=(1-cos0,0)=(0,0), a primeira componente é não linear em y (envolve cos y). Por exemplo,
S(2cdot(x,y))1=1-cos(2y) neq 2l(1-cos yr)=2,S(x,y)1
Logo S não satisfaz homogeneidade e não é linear.

Passo 5

Das três aplicações, apenas a do item (I) é linear, pois as dos itens (II) e (III) não preservam aditividade e homogeneidade.

Resposta

(A) Apenas a função do item (I) é uma transformação linear.

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