Seja T: R^5 R^4 dada por
T(x, y, z, w, t)=(x+2 y+3 z+w, y+2 z+3 w+t, x+z+2 w+3 t, 3 x+y+w+2 t)
O POSTO de T (dimensão da imagem de T ) e a NULIDADE de T (dimensão do núcleo de T) são respectivamente:
(A) 0 e 0
(B) 0 e 5
(C) 0 e 4
(D) 1 e 1
(E) 1 e 4
(F) 1 e 3
(G) 2 e 2
(H) 2 e 3
(I) 3 e 3
(J) 3 e 2
(K) 3 e 1
(L) 4 e 4
(M) 4 e 1
(N) 4 e 0
(O) 5 e 5
§ 5 e 0
(Q) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^5toR^4, T(x,y,z,w,t)=(x+2y+3z+w,;y+2z+3w+t,;x+z+2w+3t,;3x+y+w+2t)
Queremos o posto de T (dimensão da imagem) e a nulidade de T (dimensão do núcleo). Para isso, vamos montar a matriz A de T na base canônica, calcular seu posto por eliminação de Gauss e depois usar o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Escrevemos a matriz AinR^4times5 cujas linhas são as coordenadas de T:
A= 1 & 2 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 2 & 3 3 & 1 & 0 & 1 & 2
Aplicamos eliminação de Gauss:
  1. R3 R3 - R1, R4 R4 - 3R1
    resulta em 1 & 2 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & -2 & -2 & 1 & 3 0 & -5 & -9 & -2 & 2

Passo 3

Continuando a eliminação:
  1. R3 R3 + 2R2, R4 R4 + 5R2 1 & 2 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & 0 & 2 & 7 & 5 0 & 0 & 1 & 13 & 7
  2. Troca R3 e R4, depois R4 R4 - 2R3: 1 & 2 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 3 & 1 0 & 0 & 1 & 13 & 7 0 & 0 & 0 & -19 & -9
Há pivôs em quatro colunas (colunas 1,2,3,4), logo
rank(A)=4

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem em espaços finito-dimensionais,
dim(ker T)+dim(ImT)=dim(R^5)=5
Como dim(ImT)=4, temos
dim(ker T)=5-4=1

Resposta

(M) 4 e 1

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