Escreva uma equação do plano determinado pelo ponto (1,2,1) e pela reta
x-12=y-1-1=z

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que contém o ponto P0=(1,2,1) e a reta dada por
x-12=y-1-1=z
O conteúdo é geometria analítica de planos em R^3. Para resolver, vamos parametrizar a reta, extrair um ponto e um vetor direção dela, obter um segundo vetor no plano ligando esse ponto a P0, fazer o produto vetorial para achar a normal ao plano e, por fim, escrever a equação do plano.

Passo 2

Parametrizamos a reta usando o parâmetro t:
x-12=t, y-1-1=t, z=t
Logo
x=1+2t, y=1-t, z=t
Isso nos dá um ponto na reta, digamos A=(1,1,0) (quando t=0), e o vetor direção
v=(2,,-1,,1)

Passo 3

Construímos o vetor que liga A a P0:
u=P0 - A=(1,2,1)-(1,1,0)=(0,,1,,1)

Passo 4

O vetor normal ao plano é
n=utimesv
Calculando o produto vetorial:
n=(0,1,1)times(2,-1,1)=(2,2,-2)
Podemos simplificar dividindo por 2 e usar
n=(1,1,-1)

Passo 5

A equação do plano com normal n=(1,1,-1) passando por P0=(1,2,1) é
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0,
ou seja,
1,(x-1)+1,(y-2)-1,(z-1)=0

Passo 6

Distribuindo e simplificando:
x-1 + y-2 - z +1 = 0 Longrightarrow x + y - z - 2 = 0

Resposta

A equação do plano é
x + y - z - 2 = 0

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