Sejam alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3 e beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2) outra base do R^3.
Seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que [T]beta^alpha=[rrr1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1 & 0 & 2].
Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(y+z, x-4 y,-x-2 y+z).
Responda SIM ou NÃO às perguntas abaixo, com as justificativas adequadas, conforme as opções apresentadas:
Pode haver uma transformação linear não-injetora e sobrejetora S: P3(R) R^3 ?
(A) Sim, pois podemos ter dim ker S=0 e dim Im S=4 e 0+4=4=dim P3(R)
(B) Não, pois os dois espaços têm dimensão finita.
(C) Sim, pois podemos ter dim ker S>0 e dim Im S=3 com dim ker S+dim Im S= dim P3(R)
(D) Não, pois teríamos dim ker S+dim Im S>4=dim P3(R)
(E) Sim, pois podemos ter dim ker S=1 e dim Im S=2 e 1+2=3=dim R^3
(F) Não, pois teríamos dim ker S=0 e dim Im S=2 e 0+2=2 neq dim R^3
(G) Sim, pois podemos ter dim ker S=0 e dim Im S=3 e 0+3=3=dim R^3
(H) Não, pois teríamos dim ker S+dim Im S>3=dim R^3
(I) Nenhuma das demais opções.

Passo 1

O enunciado pergunta se existe uma transformação linear
,S: P3(R)toR^3
que seja não-injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Aqui dim P3(R)=4 e dimR^3=3.
Vamos usar o Teorema Núcleo–Imagem (ou Teorema da Dimensão).

Passo 2

Pelo Teorema Núcleo–Imagem temos
dim ker S ;+;dim Im S ;=;dim P3(R) ;=;4

Passo 3

Para S ser sobrejetora precisamos de
dim Im S = 3.
Logo
dim ker S = 4 - 3 = 1 > 0,
o que implica que S não é injetora. Assim é possível ter uma S não-injetora e sobrejetora.

Resposta

(C) Sim, pois podemos ter dim ker S>0 e dim Im S=3 com
dim ker S+dim Im S=dim P3(R).

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