(2.0) Determine as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais da função
f(x)=2+sen(x^2)x^2

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x) = 2 + sin(x^2)x^2 . Vamos usar conhecimentos de cálculo sobre limites e comportamento de funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração se aproxima de zero, mas o numerador não se anula ao mesmo tempo. Olhando para x^2 no denominador, sabemos que ele se torna zero quando x = 0 .

Passo 3

Agora, precisamos verificar o comportamento da função perto de x = 0 . Se substituirmos x = 0 na função, temos 2 + sin(0)0 = 2 + 00 , que é uma divisão por zero, indicando que há uma assíntota vertical em x = 0 .

Passo 4

Em seguida, vamos determinar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite da função quando x tende para +infty e -infty .

Passo 5

Observando a função f(x) = 2 + sin(x^2)x^2 , notamos que o termo sin(x^2) oscila entre -1 e 1, então o numerador fica entre 1 e 3. Conforme x cresce, x^2 também cresce sem limites, fazendo com que o valor de 2 + sin(x^2)x^2 se aproxime de 0.

Passo 6

Portanto, o limite de f(x) quando x tende para +infty ou -infty é 0. Isso significa que a função tem uma assíntota horizontal na linha y = 0 .

Resposta

A função f(x) = 2 + sin(x^2)x^2 tem uma assíntota vertical em x = 0 e uma assíntota horizontal na linha y = 0 .

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