Use critério da razão para estudar a convergência das séries
sumn=1^infty 1n 2^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1n,2^n
usando o Critério da Razão. Este critério diz que, se definirmos an como o n-ésimo termo da série, calculamos
L = limntoinfty|an+1an|
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
an = 1n,2^n
Então
an+1an = 1(n+1),2^,n+11n,2^,n = n,2^,n(n+1),2^,n+1 = nn+1cdot12

Passo 3

Calculamos o limite
L = limntoinftyan+1an = limntoinftynn+1cdot12 = 1cdot12 = 12

Passo 4

Como L = tfrac12 < 1, o Critério da Razão garante que a série converge absolutamente. Logo, a série sumn=1^inftytfrac1n,2^n converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge), pois o limite do quociente dos termos é tfrac12<1.

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