Considere as funções quadráticas abaixo. Determine se suas parábolas têm concavidade para cima ou para baixo e justifique sua resposta:
f(x)=3 x^{2}+2 x-1

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=3x^{2}+2x-1 e pede para determinar se a parábola correspondente tem concavidade para cima ou para baixo, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 2 da forma geral ax^{2}+bx+c.
  • Os coeficientes desta função são a=3, b=2 e c=-1.

Passo 2

Entendendo o que significa “concavidade” de uma parábola e a regra rápida.
  • Uma parábola (gráfico de uma função quadrática) pode “abrir para cima” ou “abrir para baixo”. “Abrir para cima” significa que a curva tem um mínimo (parecida com um “U”); “abrir para baixo” significa que a curva tem um máximo (parecida com um “∩”).
  • Para uma função quadrática genérica \;g(x)=a x^{2}+b x+c\;, o coeficiente a (o número multiplicando x^{2}) determina essa abertura:
    • Se \;a>0\;, os ramos da parábola vão para +\infty quando |x|\to\infty, logo a parábola abre para cima.
    • Se \;a<0\;, os ramos vão para -\infty quando |x|\to\infty, logo a parábola abre para baixo.
      Esse é o critério mais simples e rápido para usar na prova: basta olhar o sinal de a.

Passo 3

Aplicando a regra ao caso dado.
  • Identificamos o coeficiente líder: \;a=3\;.
  • Observando o sinal: \;3>0\;.
    Portanto, pelo critério do coeficiente líder, a parábola de f abre para cima (concavidade para cima).

Passo 4

Demonstração alternativa (usando derivadas) — útil para consolidar a ideia.
  • Calcular a primeira derivada: \;f'(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+2x-1\bigr)=6x+2.
  • Calcular a segunda derivada: \;f''(x)=\dfrac{d}{dx}\bigl(6x+2\bigr)=6.
  • Como \;f''(x)=6>0\; para todo x, a concavidade da função é para cima em todos os pontos. (Regra: segunda derivada positiva implica concavidade para cima.)

Passo 5

Demonstração alternativa (completando o quadrado) — ver de forma algébrica a forma de vértice.
  • Fatorar o coeficiente 3 nos termos quadrático e linear:
f(x)=3\left(x^{2}+\tfrac{2}{3}x\right)-1.
  • Completar o quadrado dentro do parêntese:
x^{2}+\tfrac{2}{3}x=\left(x+\tfrac{1}{3}\right)^{2}-\tfrac{1}{9}.
  • Substituir e simplificar:
f(x)=3\left(\left(x+\tfrac{1}{3}\right)^{2}-\tfrac{1}{9}\right)-1 =3\left(x+\tfrac{1}{3}\right)^{2}-\tfrac{1}{3}-1 =3\left(x+\tfrac{1}{3}\right)^{2}-\tfrac{4}{3}.
  • Nesta forma, f(x)=3\left(x+\tfrac{1}{3}\right)^{2}-\tfrac{4}{3}, vê-se que f é uma constante mais 3 vezes um quadrado. Como o fator 3 é positivo, a função tem um mínimo no vértice e, portanto, abre para cima.

Passo 6

Dica rápida para prova e moral de estudo (rápida e amiga): sempre que cair função quadrática na prova, olhe primeiro para o coeficiente de x^{2}. Se for positivo, já marca “concavidade para cima” — é a maneira mais rápida e segura. Você já fez a parte difícil: identificar a=3.

Resposta

Concavidade para cima.

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