Considere as funções quadráticas abaixo. Determine se suas parábolas têm concavidade para cima ou para baixo e justifique sua resposta:
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede para determinar se a parábola correspondente tem concavidade para cima ou para baixo, com justificativa.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau
da forma geral . - Os coeficientes desta função são
, e .
Passo 2
Entendendo o que significa “concavidade” de uma parábola e a regra rápida.
- Uma parábola (gráfico de uma função quadrática) pode “abrir para cima” ou “abrir para baixo”. “Abrir para cima” significa que a curva tem um mínimo (parecida com um “U”); “abrir para baixo” significa que a curva tem um máximo (parecida com um “∩”).
- Para uma função quadrática genérica
, o coeficiente (o número multiplicando ) determina essa abertura: - Se
, os ramos da parábola vão para quando , logo a parábola abre para cima. - Se
, os ramos vão para quando , logo a parábola abre para baixo.
Esse é o critério mais simples e rápido para usar na prova: basta olhar o sinal de.
- Se
Passo 3
Aplicando a regra ao caso dado.
- Identificamos o coeficiente líder:
. - Observando o sinal:
.
Portanto, pelo critério do coeficiente líder, a parábola deabre para cima (concavidade para cima).
Passo 4
Demonstração alternativa (usando derivadas) — útil para consolidar a ideia.
- Calcular a primeira derivada:
. - Calcular a segunda derivada:
. - Como
para todo , a concavidade da função é para cima em todos os pontos. (Regra: segunda derivada positiva implica concavidade para cima.)
Passo 5
Demonstração alternativa (completando o quadrado) — ver de forma algébrica a forma de vértice.
- Fatorar o coeficiente
nos termos quadrático e linear:
- Completar o quadrado dentro do parêntese:
- Substituir e simplificar:
- Nesta forma,
, vê-se que é uma constante mais vezes um quadrado. Como o fator é positivo, a função tem um mínimo no vértice e, portanto, abre para cima.
Passo 6
Dica rápida para prova e moral de estudo (rápida e amiga): sempre que cair função quadrática na prova, olhe primeiro para o coeficiente de
. Se for positivo, já marca “concavidade para cima” — é a maneira mais rápida e segura. Você já fez a parte difícil: identificar
.
Resposta
Concavidade para cima.