Considere as funções quadráticas abaixo. Determine se suas parábolas têm concavidade para cima ou para baixo e justifique sua resposta:
f(x)=-x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática \;f(x)=-x^{2}+4x\; e pede para determinar se a parábola tem concavidade para cima ou para baixo, justificando a resposta.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
  • A função é quadrática e pode ser escrita na forma geral \;f(x)=ax^{2}+bx+c\;.
  • Para esta função, os coeficientes são \;a=-1, \;b=4 e \;c=0.

Passo 2

Principio útil (fórmula e significado das variáveis). Uma função quadrática tem forma geral \;f(x)=ax^{2}+bx+c\;, onde:
  • \;a\; é o coeficiente que multiplica x^{2},
  • \;b\; é o coeficiente que multiplica x,
  • \;c\; é o termo constante.
Regra prática que vamos usar: o sinal de \;a\; determina a concavidade da parábola:
  • Se \;a>0 então a parábola tem concavidade para cima (abre para cima).
  • Se \;a<0 então a parábola tem concavidade para baixo (abre para baixo).
Vou justificar isso de duas maneiras (uma com derivadas, outra só com álgebra), assim você escolhe a que achar mais clara na prova.

Passo 3

Justificativa via derivadas (intuição de curvatura). A derivada de \;f é \;f'(x)=2ax+b\; e a segunda derivada é \;f''(x)=2a\;. A segunda derivada mede a curvatura:
  • Se \;f''(x)>0 então a curva é côncava para cima;
  • Se \;f''(x)<0 então a curva é côncava para baixo.
Para nossa função \;a=-1, então
f''(x)=2a=2(-1)=-2.
Como -2<0, a segunda derivada é negativa para todo x, logo a parábola é côncava para baixo (abre para baixo). Em palavras: o coeficiente de x^{2} negativo implica curvatura para baixo.

Passo 4

Justificativa via completar o quadrado (álgebra, sem cálculo). Reescrever a função mostra diretamente a forma canônica \;f(x)=A(x-h)^{2}+k\;, onde o sinal de A indica a concavidade.
Começo com \;f(x)=-x^{2}+4x\;. Factorando -1 do termo quadrático:
f(x) = -\bigl(x^{2}-4x\bigr).
Agora completo o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-4x = x^{2}-4x+4-4 = (x-2)^{2}-4. Substituindo:
f(x) = -\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) = - (x-2)^{2} +4.
Aqui a função está na forma \;f(x) = A(x-h)^{2}+k\; com \;A=-1, \;h=2, \;k=4. Como \;A=-1<0, o termo -(x-2)^{2} é sempre menor ou igual a zero, então a parábola abre para baixo e o ponto (2,4) é um vértice máximo. Isso confirma, sem usar derivadas, que a concavidade é para baixo.

Passo 5

Resumo prático e dica para a prova. Para qualquer quadrática \;ax^{2}+bx+c\; basta olhar o sinal de \;a: se negativo, concavidade para baixo; se positivo, para cima. No caso dado, \;a=-1<0, então a parábola tem concavidade para baixo. Você pode argumentar com a segunda derivada \;f''(x)=2a ou mostrando a forma - (x-2)^{2}+4.
Força aí — essa questão é das mais frequentes e a regra do sinal de \;a resolve rápido!

Resposta

Concavidade para baixo.

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