Considere as funções quadráticas abaixo. Determine se suas parábolas têm concavidade para cima ou para baixo e justifique sua resposta:
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede para determinar se a parábola tem concavidade para cima ou para baixo, justificando a resposta.
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
Informações fornecidas (extraídas do enunciado):
- A função é quadrática e pode ser escrita na forma geral
. - Para esta função, os coeficientes são
, e .
Passo 2
Principio útil (fórmula e significado das variáveis). Uma função quadrática tem forma geral
, onde:
-
é o coeficiente que multiplica , -
é o coeficiente que multiplica , -
é o termo constante.
Regra prática que vamos usar: o sinal de
determina a concavidade da parábola:
- Se
então a parábola tem concavidade para cima (abre para cima). - Se
então a parábola tem concavidade para baixo (abre para baixo).
Vou justificar isso de duas maneiras (uma com derivadas, outra só com álgebra), assim você escolhe a que achar mais clara na prova.
Passo 3
Justificativa via derivadas (intuição de curvatura). A derivada de
é
e a segunda derivada é
. A segunda derivada mede a curvatura:
- Se
então a curva é côncava para cima; - Se
então a curva é côncava para baixo.
Para nossa função
, então
Como
, a segunda derivada é negativa para todo
, logo a parábola é côncava para baixo (abre para baixo). Em palavras: o coeficiente de
negativo implica curvatura para baixo.
Passo 4
Justificativa via completar o quadrado (álgebra, sem cálculo). Reescrever a função mostra diretamente a forma canônica
, onde o sinal de
indica a concavidade.
Começo com
. Factorando
do termo quadrático:
Agora completo o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Aqui a função está na forma
com
,
,
. Como
, o termo
é sempre menor ou igual a zero, então a parábola abre para baixo e o ponto
é um vértice máximo. Isso confirma, sem usar derivadas, que a concavidade é para baixo.
Passo 5
Resumo prático e dica para a prova. Para qualquer quadrática
basta olhar o sinal de
: se negativo, concavidade para baixo; se positivo, para cima. No caso dado,
, então a parábola tem concavidade para baixo. Você pode argumentar com a segunda derivada
ou mostrando a forma
.
Força aí — essa questão é das mais frequentes e a regra do sinal de
resolve rápido!
Resposta
Concavidade para baixo.