Resolva as Equações Lineares:
\frac{d y}{d x}=x+y;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear \frac{dy}{dx}=x+y. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
\frac{dy}{dx}-y = x,
onde P(x) = -1 e Q(x)=x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -1\,dx} = e^{-x}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x) obtemos
e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = x\,e^{-x},
e o lado esquerdo é a derivada do produto
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x}\bigr).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-x}\bigr)\,dx = \int x\,e^{-x}\,dx.
O integral do lado direito faz-se por partes e resulta em
\int x\,e^{-x}\,dx = -\bigl(x+1\bigr)e^{-x} + C.

Passo 6

Logo,
y\,e^{-x} = -(x+1)e^{-x} + C
e, multiplicando por e^{x}, obtemos
y(x) = C\,e^{x} - x - 1.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C\,e^{x} - x - 1,
onde C é a constante de integração.

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