Seja
um subespaço de um espaço euclidiano
. Dado
, mostre que existe um único
tal que
é ortogonal a todos os vetores de W. Sugestão: Suponha que exista outro vetor
tal que
é ortogonal a todos os vetores de
e conclua que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço euclidiano
com produto interno
, dado um subespaço
e qualquer vetor
, existe um vetor único
tal que
é ortogonal a todos os vetores de
. O conteúdo envolvido é a projeção ortogonal de
sobre
. Vamos usar uma base ortonormal de
para construir a projeção e depois provar sua unicidade por um argumento de ortogonalidade.
Passo 2
Escolha uma base ortonormal
de
. Como essa base é ortonormal, para qualquer
podemos definir
Note que cada coeficiente
é escalar, e a soma fica em
porque combina os
.
Passo 3
Mostramos que
é ortogonal a qualquer
. De fato, como
pode ser escrito
, temos
Mas para cada
,
Logo
para todo
, isto é,
.
Passo 4
Agora provamos a unicidade. Suponha que exista outro
tal que
. Então tanto
quanto
são ortogonais a todos os vetores de
. Considere
O lado direito é diferença de dois vetores que estão em
, logo
. Mas
também, pois
é subespaço. Assim
o que implica
.
Resposta
Mostramos que
(a) definindo em uma base ortonormal de
obtemos
,
(b) qualquer outro com a mesma propriedade satisfaz
. Portanto existe um único
tal que
é ortogonal a
.
(a) definindo
(b) qualquer outro