Seja W um subespaço de um espaço euclidiano V. Dado v in V, mostre que existe um único v0 in W tal que v-v0 é ortogonal a todos os vetores de W. Sugestão: Suponha que exista outro vetor v1 in W tal que v-v1 é ortogonal a todos os vetores de W e conclua que v0=v1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço euclidiano V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=, dado um subespaço Wsubset V e qualquer vetor vin V, existe um vetor único v0in W tal que v-v0 é ortogonal a todos os vetores de W. O conteúdo envolvido é a projeção ortogonal de v sobre W. Vamos usar uma base ortonormal de W para construir a projeção e depois provar sua unicidade por um argumento de ortogonalidade.

Passo 2

Escolha uma base ortonormal u1,dots,um de W. Como essa base é ortonormal, para qualquer vin V podemos definir
v0 =sumi=1^mlang<= v,uirang<=,ui
Note que cada coeficiente lang<= v,uirang<= é escalar, e a soma fica em W porque combina os ui.

Passo 3

Mostramos que v-v0 é ortogonal a qualquer win W. De fato, como win W pode ser escrito w=sumi=1^malphaiui, temos
lang<= v-v0,,wrang<= =lang<= v-sumj=1^mlang<= v,ujrang<= uj,;sumi=1^malphaiuirang<= =sumi=1^malphaillang<= v-sumjlang<= v,ujrang<= uj,,uirrang<=
Mas para cada i,
llang<= v-sumjlang<= v,ujrang<= uj,,uirrang<= =lang<= v,uirang<=-sumjlang<= v,ujrang<=lang<= uj,uirang<= =lang<= v,uirang<=-lang<= v,uirang<==0
Logo lang<= v-v0,wrang<==0 para todo win W, isto é, v-v0perp W.

Passo 4

Agora provamos a unicidade. Suponha que exista outro v1in W tal que v-v1perp W. Então tanto v-v0 quanto v-v1 são ortogonais a todos os vetores de W. Considere
v0-v1 =(v-v1)-(v-v0)
O lado direito é diferença de dois vetores que estão em W^perp, logo v0-v1in W^perp. Mas v0-v1in W também, pois W é subespaço. Assim
v0-v1in Wcap W^perp=0,
o que implica v0=v1.

Resposta

Mostramos que
(a) definindo v0=sumi=1^mlang<= v,uirang<= ui em uma base ortonormal de W obtemos v-v0perp W,
(b) qualquer outro v1in W com a mesma propriedade satisfaz v0=v1. Portanto existe um único v0in W tal que v-v0 é ortogonal a W.

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