Encontre a série de Fourier para cos e indique o intervalo de convergência;
Passo 1
O enunciado dá as séries de Maclaurin de e de e pede a série de Maclaurin (chamada aqui de “série de Fourier”) de . O conteúdo é expansão em série de potências e critério de convergência.
Passo 2
Lembrando que
podemos derivar termo a termo a série de :
Derivando cada termo:
Passo 3
Portanto, termo a termo,
Passo 4
Para o intervalo de convergência, aplicamos o critério da razão a .
Calculamos
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo xinR.