Considere as funções e suas séries a seguir:
e^x=sumk=0^infty x^kk!, x in R sin x=sumk=0^infty (-1)^k x^2 k+1(2 k+1)!, x in R
Encontre a série de Fourier para cos x e indique o intervalo de convergência;

Passo 1

O enunciado dá as séries de Maclaurin de e^x e de sin x e pede a série de Maclaurin (chamada aqui de “série de Fourier”) de cos x. O conteúdo é expansão em série de potências e critério de convergência.

Passo 2

Lembrando que
ddxsin x = cos x,
podemos derivar termo a termo a série de sin x:
sin x = sumk=0^infty (-1)^kx^2k+1(2k+1)!
Derivando cada termo:
ddx!l((-1)^kx^2k+1(2k+1)!r) = (-1)^k(2k+1)x^2k(2k+1)! = (-1)^kx^2k(2k)!

Passo 3

Portanto, termo a termo,
cos x = ddxsin x = sumk=0^infty (-1)^kx^2k(2k)!

Passo 4

Para o intervalo de convergência, aplicamos o critério da razão a
ak=(-1)^kx^2k(2k)!.
Calculamos
limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |x|^2(k+1)/(2k+2)!|x|^2k/(2k)! = limktoinftyx^2(2k+2)(2k+1)=0
Como esse limite é 0<1 para todo x, a série converge para todo xinR.

Resposta

boxed cos x = sumk=0^infty (-1)^kx^2k(2k)!, xinR

Exercícios relacionados