Estude cuidadosamente os extremos do intervalo de convergência( teste da convergência absoluta e condicional);
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo aqui é descobrir até onde essa série converge, ou seja, qual é o intervalo de valores de para os quais a série dá soma finita. Além disso, precisamos analisar o que acontece nos extremos desse intervalo: se a série converge absolutamente, condicionalmente ou não converge.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão (Ratio Test) para encontrar o intervalo de convergência e, depois, verificar a convergência nas pontas desse intervalo usando testes de convergência apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Podemos reescrever os termos da série como:
Agora, para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
Se L < 1 , a série converge absolutamente; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Isso é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bk = 1raiz[3]k^4-1 são decrescentes e tendem a zero, a série converge.
bk é decrescente porque o denominador cresce conforme k aumenta.
limk to infty bk = 0 .
Então, a série converge condicionalmente em x = -4 .
Precisamos testar a convergência dessa série. Observamos que para k grande:
1raiz[3]k^4-1 approx 1k^43
Comparamos com a série sum 1k^p . Sabemos que sum 1k^p converge se p > 1 . Aqui, p = 43 > 1 , então a série converge absolutamente em x = 6 .
Resposta
O intervalo de convergência da série é -4 <= x <= 6 . No extremo x = -4 , a série converge condicionalmente, e no extremo x = 6 , a série converge absolutamente.