Considere a série a seguir:
sumk=2^infty (x-1)^k5^k raiz[3]k^4-1
Estude cuidadosamente os extremos do intervalo de convergência( teste da convergência absoluta e condicional);

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumk=2^infty (x-1)^k5^k raiz[3]k^4-1
O objetivo aqui é descobrir até onde essa série converge, ou seja, qual é o intervalo de valores de x para os quais a série dá soma finita. Além disso, precisamos analisar o que acontece nos extremos desse intervalo: se a série converge absolutamente, condicionalmente ou não converge.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão (Ratio Test) para encontrar o intervalo de convergência e, depois, verificar a convergência nas pontas desse intervalo usando testes de convergência apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Podemos reescrever os termos da série como:
ak = (x-1)^k5^k raiz[3]k^4-1 = ( x-15 )^k cdot 1raiz[3]k^4-1
Agora, para aplicar o Teste da Razão, vamos calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Se L < 1 , a série converge absolutamente; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular ak+1ak :
ak+1ak = ( x-15 )^k+1 cdot 1raiz[3](k+1)^4-1( x-15 )^k cdot 1raiz[3]k^4-1 = x-15 cdot raiz[3]k^4-1raiz[3](k+1)^4-1
Agora, vamos simplificar o limite quando k to infty :
L = limk to infty | x-15 cdot raiz[3]k^4-1raiz[3](k+1)^4-1 |
Perceba que, para valores grandes de k , k^4 - 1 e (k+1)^4 - 1 são aproximadamente k^4 e (k+1)^4 , respectivamente. Então, podemos aproximar:
raiz[3]k^4-1raiz[3](k+1)^4-1 approx raiz[3]k^4raiz[3](k+1)^4 = ( kk+1 )^43
Quando k cresce, kk+1 tende a 1, então:
L = | x-15 |

Passo 4

Com o limite L encontrado, aplicamos o Teste da Razão:
  • Se L < 1 , a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste não nos dá informação.
Então, temos:
| x-15 | < 1
Isso implica:
-1 < x-15 < 1
Multiplicando todos os termos por 5:
-5 < x - 1 < 5
E somando 1 em toda a desigualdade:
-4 < x < 6
Esse é o nosso intervalo de convergência preliminar. Agora, precisamos verificar o que ocorre nas pontas x = -4 e x = 6 .

Passo 5

Vamos verificar primeiro em x = -4 :
Substituindo x = -4 na série:
sumk=2^infty (-4-1)^k5^k raiz[3]k^4-1 = sumk=2^infty (-5)^k5^k raiz[3]k^4-1 = sumk=2^infty (-1)^kraiz[3]k^4-1
Isso é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bk = 1raiz[3]k^4-1 são decrescentes e tendem a zero, a série converge.
  • bk é decrescente porque o denominador cresce conforme k aumenta.
  • limk to infty bk = 0 .
Então, a série converge condicionalmente em x = -4 .

Passo 6

Agora, vamos verificar em x = 6 :
Substituindo x = 6 na série:
sumk=2^infty (6-1)^k5^k raiz[3]k^4-1 = sumk=2^infty 5^k5^k raiz[3]k^4-1 = sumk=2^infty 1raiz[3]k^4-1
Precisamos testar a convergência dessa série. Observamos que para k grande:
1raiz[3]k^4-1 approx 1k^43
Comparamos com a série sum 1k^p . Sabemos que sum 1k^p converge se p > 1 . Aqui, p = 43 > 1 , então a série converge absolutamente em x = 6 .

Resposta

O intervalo de convergência da série é -4 <= x <= 6 . No extremo x = -4 , a série converge condicionalmente, e no extremo x = 6 , a série converge absolutamente.

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