Considere as funções f e g tais que
g(x)=2 x+3, (x in R) e f circ g(x)=2 x+5x+1, (x neq-1)
a. [1,5] Determine a lei de formação da função f;
b. [0,5] Determine o domínio de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas funções, f e g , onde g(x) = 2x + 3 e a composição f circ g(x) = 2x + 5x + 1 . Nosso objetivo é descobrir qual é a função f e qual é o domínio dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de função composta e resolver passo a passo para encontrar a lei de formação de f e depois determinar seus valores permitidos (domínio).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa f circ g(x) . Isso quer dizer que estamos aplicando a função g primeiro e depois passando o resultado para a função f . Ou seja, f(g(x)) = 2x + 5x + 1 .

Passo 3

Sabemos que g(x) = 2x + 3 . Vamos chamar esse resultado de y , então y = g(x) = 2x + 3 . Agora, queremos expressar f(y) de forma que f(y) = 2x + 5x + 1 .

Passo 4

Nosso objetivo é escrever f em termos de y . Sabemos que y = 2x + 3 , então podemos resolver essa equação para x :
y = 2x + 3 implies 2x = y - 3 implies x = y - 32

Passo 5

Agora, substituímos x = y - 32 na expressão de f circ g(x) :
f(y) = 2(y - 32) + 5(y - 32) + 1

Passo 6

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
2 cdot y - 32 + 5 = (y - 3) + 5 = y + 2
Denominador:
y - 32 + 1 = y - 3 + 22 = y - 12

Passo 7

Então, a função f(y) fica:
f(y) = y + 2y - 12 = y + 21 cdot 2y - 1 = 2(y + 2)y - 1

Resposta

a. A lei de formação da função f é:
f(x) = 2(x + 2)x - 1
b. O domínio de f são todos os números reais exceto onde o denominador é zero. Então:
x neq 1

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