Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam
quaisquer
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para explicar a propriedade de subtração nos reais, ou seja, mostrar que para quaisquer números reais
vale
. O conteúdo aqui é a estrutura de grupo abeliano (e em particular corpo) dos reais e a definição de subtração em termos de adição do inverso aditivo.
Passo 2
Nos reais, para cada número
existe um inverso aditivo, denotado
, que satisfaz
. Esse inverso é a peça-chave: ele é o elemento que, adicionado a
, resulta no elemento neutro da adição, que é
.
Passo 3
A subtração
é definida justamente como a adição de
com o inverso de
. Em notação,
Passo 4
Passo 5
essa definição faz com que “tirar
” de
seja o mesmo que “acrescentar a
”.
Passo 6
Para ver que essa definição coincide com a nossa ideia de diferença — isto é, o número que somado a
recupera
— basta verificar:
Passo 7
Passo 8
Logo, o elemento
é exatamente aquele que, somado a
, nos dá
, confirmando que
.
Resposta
A propriedade
decorre da definição de subtração em um corpo abeliano: subtrair
de
é o mesmo que adicionar o inverso aditivo de
a
.