Tente explicar as seguintes propriedades dos números reais: Sejam a, b, c in R quaisquer
(a) Se a+b=a+c então b=c.

Passo 1

O enunciado afirma a propriedade de cancelamento da adição nos reais: dados quaisquer números reais a,b,c, se a + b = a + c, então devemos provar que b = c. Vamos usar propriedades básicas dos números reais, como existência de inverso aditivo, associatividade e elemento neutro.

Passo 2

Lembrando que para todo número real a existe seu inverso aditivo -a, tal que a + (-a) = 0. A ideia é “eliminar” o a que aparece em ambos os lados da igualdade, somando o inverso aditivo de a em cada membro.

Passo 3

Partimos de
a + b = a + c
e aplicamos a adição de -a) em ambos os lados. Pela propriedade de compatibilidade da igualdade com adição, obtemos
(a + b) + (-a) = (a + c) + (-a)

Passo 4

Usando associatividade e comutatividade da adição, podemos reescrever cada membro:
(a + b) + (-a) = a + (b + (-a)) = (a + (-a)) + b = 0 + b = b,
(a + c) + (-a) = a + (c + (-a)) = (a + (-a)) + c = 0 + c = c

Passo 5

Portanto, a igualdade inicial leva a
b = c,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

b = c

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