Considere as funções f(x, y)=cos (x+4 y), x(s, t)=5 s t^4 e y(s, t)=ln (t)+e^s. Usando a Regra da Cadeia, calcule partial fpartial s.

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
f(x,y)=cosl(x+4yr),
com as parametrizações
x(s,t)=5,s,t^4, y(s,t)=ln(t)+e^s
Queremos calcular partial fpartial s aplicando a Regra da Cadeia. Para isso precisamos das derivadas parciais partial f/partial x, partial f/partial y e das derivadas partial x/partial s, partial y/partial s.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de f:
partial fpartial x =partialpartial xcosl(x+4yr) =-sinl(x+4yr)cdot1 =-sinl(x+4yr),
partial fpartial y =partialpartial ycosl(x+4yr) =-sinl(x+4yr)cdot4 =-4,sinl(x+4yr)

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a s:
partial xpartial s =partialpartial sl(5,s,t^4r) =5,t^4,
partial ypartial s =partialpartial sl(ln(t)+e^sr) =0 + e^s =e^s

Passo 4

A Regra da Cadeia para derivada parcial de fl(x(s,t),y(s,t)r) em relação a s é
partial fpartial s =partial fpartial x,partial xpartial s +partial fpartial y,partial ypartial s

Passo 5

Substituindo as derivadas obtidas:
partial fpartial s =-sinl(x+4yr)cdot(5,t^4) +(-4,sinl(x+4yr))cdot(e^s) =-sinl(x+4yr)l(5,t^4+4,e^sr)
Finalmente, voltando a x(s,t) e y(s,t):
x+4y =5,s,t^4 +4l(ln(t)+e^sr) =5s,t^4+4ln(t)+4e^s

Resposta

partial fpartial s =-sinl(5s,t^4+4ln(t)+4e^sr),l(5,t^4+4,e^sr)

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