O enunciado nos pede para verificar se o limite existe e qual é o seu valor para a função
quando . Este é um problema de limites de funções de duas variáveis e podemos começar testando alguns caminhos simples para conjecturar o valor, depois usar coordenadas polares para provar a existência do limite.
Passo 2
Testando caminhos lineares:
Se tomarmos , temos
logo o limite ao longo do eixo é .
Se tomarmos com constante, então
e, ao fazer , obtemos também .
Esses testes sugerem que o limite seja .
Passo 3
Para provar rigorosamente, usamos coordenadas polares:
onde e é o ângulo. Substituindo na expressão:
Passo 4
Observe que o fator angular
é uma função de perfeitamente contínua e limitada em todo , pois para todo . Logo existe uma constante tal que . Assim
l|f(r,theta)r| <= r^2,M,
e como rto0 faz r^2Mto0, segue por aperto (squeeze) que f(r,theta)to0.