Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) x^5 yx^4+y^4

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o limite existe e qual é o seu valor para a função
f(x,y)=x^5yx^4+y^4
quando (x,y)to(0,0). Este é um problema de limites de funções de duas variáveis e podemos começar testando alguns caminhos simples para conjecturar o valor, depois usar coordenadas polares para provar a existência do limite.

Passo 2

Testando caminhos lineares:
  • Se tomarmos y=0, temos
f(x,0)=x^5cdot0x^4+0^4=0,
logo o limite ao longo do eixo x é 0.
  • Se tomarmos y=kx com k constante, então
f(x,kx) =x^5(kx)x^4+(kx)^4 =k,x^6x^4(1+k^4) =k1+k^4,x^2
e, ao fazer xto0, obtemos também 0.
Esses testes sugerem que o limite seja 0.

Passo 3

Para provar rigorosamente, usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta,
onde r>=0 e theta é o ângulo. Substituindo na expressão:
f(r,theta) =(rcostheta)^5(rsintheta)(rcostheta)^4+(rsintheta)^4 =r^6cos^5theta,sinthetar^4l(cos^4theta+sin^4thetar) =r^2,cos^5theta,sinthetacos^4theta+sin^4theta

Passo 4

Observe que o fator angular
g(theta)=cos^5theta,sinthetacos^4theta+sin^4theta
é uma função de theta perfeitamente contínua e limitada em todo theta, pois cos^4theta+sin^4theta>0 para todo theta. Logo existe uma constante M tal que l|g(theta)r|<= M. Assim
l|f(r,theta)r| <= r^2,M,
e como rto0 faz r^2Mto0, segue por aperto (squeeze) que f(r,theta)to0.

Resposta

O limite existe e vale
lim(x,y)to(0,0)x^5yx^4+y^4=0

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