Determine os valores de máximo e mínimo da função f(x, y)=9 x^2-4 y^2 sujeita à restrição x^2+y^2=36.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função f(x, y) = 9x^2 - 4y^2 com a restrição de que x^2 + y^2 = 36 . Isso está dentro do conteúdo de otimização com restrições, mais especificamente usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores extremos dentro da condição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os máximos e mínimos de uma função f(x, y) sujeita a uma restrição g(x, y) = 0 . A ideia é introduzir um novo parâmetro, chamado de multiplicador de Lagrange (vamos chamar de lambda ), e criar uma nova função chamada de Lagrangiana:
L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y))
Então, a gente encontra os pontos onde as derivadas parciais de L em relação a x , y e lambda são iguais a zero.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso problema. A função que queremos otimizar é:
f(x, y) = 9x^2 - 4y^2
E a restrição é:
g(x, y) = x^2 + y^2 - 36 = 0
Então, a Lagrangiana fica:
L(x, y, lambda) = 9x^2 - 4y^2 - lambda (x^2 + y^2 - 36)

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de L e igualar a zero:
  1. Derivada em relação a x :
partial Lpartial x = 18x - 2lambda x = 0
  1. Derivada em relação a y :
partial Lpartial y = -8y - 2lambda y = 0
  1. Derivada em relação a lambda :
partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 - 36) = 0

Passo 5

Vamos resolver essas equações:
  1. De 18x - 2lambda x = 0 , podemos fatorar x :
x(18 - 2lambda) = 0
Isso nos dá duas possibilidades: x = 0 ou lambda = 9 .
  1. De -8y - 2lambda y = 0 , fatorando y :
y(-8 - 2lambda) = 0
Assim, y = 0 ou lambda = -4 .

Passo 6

Vamos analisar os casos:
Caso 1: x = 0
  • Substituindo na restrição x^2 + y^2 = 36 :
0 + y^2 = 36 implies y^2 = 36 implies y = pm 6
  • Avaliando f(x, y) :
f(0, pm 6) = 9(0)^2 - 4(pm 6)^2 = -4 times 36 = -144
Caso 2: y = 0
  • Substituindo na restrição x^2 + y^2 = 36 :
x^2 + 0 = 36 implies x^2 = 36 implies x = pm 6
  • Avaliando f(x, y) :
f(pm 6, 0) = 9(pm 6)^2 - 4(0)^2 = 9 times 36 = 324

Passo 7

Então, encontramos dois pontos críticos:
  • Quando x = 0 e y = pm 6 , f(x, y) = -144
  • Quando x = pm 6 e y = 0 , f(x, y) = 324

Resposta

Os valores máximos e mínimos da função f(x, y) = 9x^2 - 4y^2 sujeitos à restrição x^2 + y^2 = 36 são:
  • Máximo: 324 (quando x = pm 6 e y = 0 )
  • Mínimo: -144 (quando x = 0 e y = pm 6 )

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