Determine os valores de máximo e mínimo da função
sujeita à restrição
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função
com a restrição de que
. Isso está dentro do conteúdo de otimização com restrições, mais especificamente usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores extremos dentro da condição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método é usado para encontrar os máximos e mínimos de uma função
sujeita a uma restrição
. A ideia é introduzir um novo parâmetro, chamado de multiplicador de Lagrange (vamos chamar de
), e criar uma nova função chamada de Lagrangiana:
Então, a gente encontra os pontos onde as derivadas parciais de
em relação a
,
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso problema. A função que queremos otimizar é:
E a restrição é:
Então, a Lagrangiana fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
e igualar a zero:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver essas equações:
- De
, podemos fatorar :
Isso nos dá duas possibilidades:
ou
.
- De
, fatorando :
Assim,
ou
.
Passo 6
Vamos analisar os casos:
Caso 1:
- Substituindo na restrição
:
- Avaliando
:
Caso 2:
- Substituindo na restrição
:
- Avaliando
:
Passo 7
Então, encontramos dois pontos críticos:
- Quando
e , - Quando
e ,
Resposta
Os valores máximos e mínimos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo:
(quando e ) - Mínimo:
(quando e )