Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (1,-2) x^3+y^3x^2-x y+3

Passo 1

Estamos vendo um limite de função de duas variáveis
lim(x,y)to(1,-2)x^3+y^3x^2 - x y + 3.
O conteúdo aqui é continuidade de funções racionais em R^2: se o denominador não zera no ponto, a função é contínua e o limite existe e vale o valor da função no ponto.

Passo 2

Calcular o denominador em (1,-2):
x^2 - x y + 3 |(1,-2) = 1^2 - (1)(-2) + 3 = 1 + 2 + 3 = 6
Como 6 neq 0, o denominador não anula, logo a função é contínua em torno de (1,-2).

Passo 3

Pela continuidade, o limite existe e
lim(x,y)to(1,-2)x^3+y^3x^2 - x y + 3 =1^3 + (-2)^31^2 - 1cdot(-2) + 3

Passo 4

Agora basta calcular o numerador e dividir por 6:
1^3 + (-2)^36 = 1 - 86 = -76

Resposta

lim(x,y)to(1,-2)x^3+y^3x^2 - x y + 3 = -76

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